Рассматривается интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Такие уравнения встречаются в задачах математической физики (например, в оптических явлениях), в задачах об издержках производства и т. д. Рассматривается частный случай разложимого ядра по базису. Отмечается, что при выполнении некоторых условий решение определяется единственным образом; находится это решение. Результат иллюстрируется примерами.

Ключевые слова: интегральное уравнение Фредгольма, первого рода, решение.

1. Решение уравнения

Рассматривается уравнение

(1)

где , — заданные непрерывные по совокупности переменных функции, — искомая непрерывная функция; .

Многие задачи математической физики приводят к таким уравнениям: например, задача восстановления размытого изображения [1]; задача об издержках производства [2] и т. д.

Определение. Вронскианом функций называется определитель [3]

Пусть выполнены следующие условия:

1) ядро раскладывается по базису , , …, :

2) (2)

3) вронскиан на

(3)

4) функция записывается в виде разложения по тому же базису:

(4)

с постоянными .

Замечание. Подставив выражение (2) для ядра в левую часть уравнения (1), получим выражение вида (4).

Решение уравнения (1) найдем в виде

(5)

где постоянные надлежит вычислить.

Подставив выражения (2), (4) в (1), получим равенство:

(6)

Приравняв коэффициенты в (6) при :

(7)

и подставив (5) в (7), получим систему для определения:

(8)

в обозначении

(9)

Построим следующие матрицы:

Коэффициенты в (5) определяются из системы (8) единственным образом, поскольку в силу неравенства (3) имеем . Они вычисляются по формулам Крамера [4]:

(10)

Таким образом, получен следующий результат.

Теорема. При выполнении условия (3) решение уравнения (1), (2), (4) единственно и определяется по формулам (5), (10), (9).

2. Примеры

Пример 1. Решить уравнение

(11)

1) Ядро и функцию

можно представить в виде (2) [5] и (4), где

2) Проверим, что выполнено условие (3). Действительно, на

3) Проверим, что функции , образуют базис на . Действительно,

4) Тогда в силу теоремы решение уравнения (11) единственно и равно

(12)

где по формулам (10), (9)

Непосредственной подстановкой выражения (12) в уравнение (11) убеждаемся в правильности решения.

Пример 2. Решить уравнение

(13)

1) Внесем интегралы в левой части уравнения под один интеграл. Ядро и функцию можно представить в виде (2) и (4), где

2) Проверим, что выполнено условие (3). Действительно, на

3) Проверим, что функции , , образуют базис на . Действительно,

4) Тогда в силу теоремы решение уравнения (13) единственно и равно

(14)

где по формулам (10), (9)

Непосредственной подстановкой выражения (14) в уравнение (13) убеждаемся в правильности решения.

Литература:

1. Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. М.: Физматлит, 2003. — 608 с.
2. Спирина М. С., Спирин П. А. Интегральные уравнения при моделировании издержек // Вестник Поволжского госуниверситета. Серия: Экономика. — 2015. — № 2 (40). — С. 234–238.
3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. — 331 с.
4. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с.
5. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике М.: 2006. — 509 с.