В статье исследуются вопросы, связанные с обслуживанием неординарного потока заявок одним прибором. Целью исследования, проведенного в статье, является нахождение условий, при которых существуют предельные распределения величин числа требований в очереди (длина очереди), а также длительности ожидания начала обслуживания группы требований.

Ключевые слова: поток требований, системы массового обслуживания, неординарный поток требований, теорема Линдии — Финча

1. Постановка задачи

Неординарный поток требований обслуживается одним прибором. Относительно входящего потока и обслуживающей системы мы сделаем следующие предположения:

1) Поток требований по обслуживанию является неординарным потоком типа , из этого следует, что:

• Моменты поступления требований таковы, что разности при образуют последовательность независимых случайных величин, имеющих одна и ту же функцию распределения:

(1)

• Число требований, поступивших в вызывающий момент , является случайной величиной , для которой:

(2)

2) Длительность обслуживания на приборе различных требований — независимые случайные величины с распределением:

(3)

3) Если требования поступают в момент, когда прибор свободен, то обслуживание начинается через случайное время , распределенное по закону:

(4)

4) Требования, заставшие прибор занятым, становятся в очередь вслед за всеми ранее прибывшими требованиями. Требования одной группы обслуживаются по одному в произвольном порядке;

5) Величины независимы при всех i, j, n, причем:

6) Прибор, начавший обслуживание, доводит его до конца и после окончания обслуживания способен приступить к обслуживанию очередного требования, если оно имеется. Если в очереди на обслуживание имеются требования, то между концом обслуживания одного требования и началом обслуживания следующего нет никакого свободного промежутка времени.

Обозначим через — число требований в очереди (длину очереди) в момент , где момент выхода из обслуживавшей системы r-го обслуженного требования, а через - длительность ожидания начала обслуживания группы требований, прибывших в систему в вызывающий момент .

Ставится следующая задача: найти при каких условиях существуют предельные распределения величин и при .

2. Предельная теорема

В этом параграфе решается задача, поставленная в параграфе 1. А именно, имеет место следующая теорема:

Если , то существуют предельные распределения

(5)

(6)

Функция не зависит от распределения и является единственным решением интегрального уравнения

(7)

где

(8)

(9)

Доказательство. Прежде чем привести доказательство теоремы, поясним наглядный смысл условия . Обозначим через — длительность обслуживания группы требований, прибывших в систему в вызывающий момент .

По формуле полной вероятности:

(10)

Но т. к.

(11)

и

(12)

то

(13)

Следовательно, функция определяемая формулой (9) является распределением величины

В дальнейшем характеристическую функцию неотрицательной случайной величины с распределением будем обозначать через , т. е.

Из (5) с учетом , вытекает

(14)

Итак, с наглядной точки зрения условие означает, что среднее время обслуживания группы одновременно поступающих требований меньше, чем среднее время между последовательными вызывающими моментами. Теперь докажем теорему. Легко проверить, что величины и связаны между собой соотношениями

(15)

Применение теоремы Линдии — Финча [2] к последовательностям и доказывает теорему. Существование предельного распределения следует из существования предельного распределения .

Литература:

1. В. Сенатов, Центральная предельная теорема. Точность аппроксимации и асимптотические разложения, 2017 г. 47–52с
2. А. Н. Колмогоров. Selected Works, Математический сборник, 1993 г., 168–172с