Вопрос «Есть ли жизнь во Вселенной?» занимает внимание учащихся. Развитие информационных технологий позволяет много узнать о необычных, объектах Вселенной и пофантазировать о жизни далеко за пределами солнечной системы. Сюжеты задач по математике ограничены бытовыми или экономическими ситуациями. На наш взгляд, математические задачи, которые раскрывают отчасти представление о далекой Вселенной, будут более интересны.

Цель работы : разработать комплекс задач по математике, решая которые ученик получает представление о другой планетной системе.

Задачи :

1. На основе анализа учебной и научно-популярной литературы выявить такие объекты Вселенной, которые интересуют учащихся 5–7 классов. В данном случае мы остановимся на планетных системах, так как очень интересен вопрос: есть ли жизнь во Вселенной?
2. Выбрать планетную систему и найти информацию о ее характеристиках.
3. Составить математические задачи с прикладным содержанием по «исследованию» планетной системы.

Обнаружение планетных систем в космосе

А) Прямое наблюдение

Прямое наблюдение осуществляется с Земли. Для этого применяются оптические приборы. Экзопланеты находятся достаточно близко к своей звезде, поэтому и обнаружить их трудно. Таким методом обнаружена планета, движущаяся около звезды 51 Эридана. На рис 1 показано созвездие Эридан. На рис. 2. Изображена эта планетная система.

Рис. 1 Созвездие Эридан

Рис. 2. Звезда 51 Эридана и экзопланета 51 Эридана b

Расстояние до звезды оценивается в 100 световых лет. Эта звезда считается молодой, возраст примерно 20 миллионов лет. Увидеть непосредственно экзопланету вблизи звезды очень трудно, поэтому использовался оптический инструмент (модель телескопа) GeminiPlanetImager в 2014г

Б) Обнаружение экзопланет с помощью метода Доплера .

Рис. 3

При движении звезды и экзопланеты вокруг одной точки (центра масс системы) изменяется длина волны получаемого излучения от звезды для наблюдателя на Земле. Если звезда удаляется, она становится красноватой. Если звезда приближается к наблюдателю, цвет звезды приобретает синий оттенок.

Метод Доплера заключается в изменении длины волны электромагнитного излучения звезды для неподвижного наблюдателя, при удалении и приближении звезды (рис. 3). Он позволяет не только обнаружить экзопланеты, но и определить их массу, орбитальные характеристики, а иногда даже параметры, связанные с их атмосферой.

Рис. 4. Созвездие Центавр

Рис. 5. Альфа Центавра

Рис. 6. Проксима Центавра и Солнце

Рис. 7. Звезда Проксима Центавра и экзопланеты

Рис. 8. Сравнительные размеры компонентов тройной звезды альфа Центавра

Проксима Центавра b . В 2016 году с помощью метода Доплера была

обнаружена планета, вращающаяся вокруг ближайшей к Солнцу звезды — Проксимы Центавра. На рис.4 изображение созвездия Центавр. Рис. 5 иллюстрирует состав тройной звезды Альфа Центавра, в состав которой входит звезда Проксима-Центавра. На рис. 6 показы сравнительные размеры звезд: Альфа Центавра А, Альфа Центавра В и звезды Проксима Центавра.

Экзопланета Проксима Центавра b очень похожа на Землю. Ее масса в 1,7 раз больше массы нашей Земли, а радиус равен в 1,1 раз больше радиуса Земли. Поэтому она может иметь твердую поверхность и, возможно, водяные моря, и атмосферу. Даже притяжение к поверхности тел, такое же, как у Земли. Температура на поверхности в среднем равна t≈ - С. Однако, магнитное поле этой экзопланеты неизвестно. Поэтому излучение от звезды на поверхность может приводить к достаточно большой радиации. Микроорганизмы, которые могут населять эту экзопланету, должны быть устойчивы к радиации. Среди таких организмов можно назвать : бактерия Deinococcus radiodurans, которая выживает при высокой радиации, и микроб — тихоходка , которая выживает в самых экстремальных условиях

П2. Математические задачи-«исследования» планетных систем

51 Эридана

Задача 1. Диаметр звезды 51 Эридана в 1,6 раз больше диаметра Солнца. Диаметр Солнца равен Dc≈ 1400 000 км. Чему равен диаметр звезды 51 Эридана?

Решение . Диаметр звезды 51 Эридана:

Dэ = 1,6·Dc ≈1,6·1400 000 км≈ 32400000 км

Ответ: Диаметр звезды 51 Эридана ≈ 32,400000 км ≈ 32,4* км

Задача 2. Масса Солнца равна Мс = кг. Масса звезды 51 Эридана в 1,75 раз больше массы Солнца. Чему равна масса звезды 51 Эридана?

Решение. Мэ=1,75*Мс= 1,75* кг ≈3,5* кг.

Ответ : Масса звезды 51Эридана ≈3,5* кг

Задача 3 . Радиус экзопланеты 51Эридана b в 1,1 больше радиуса планеты Юпитер. Радиус планеты Юпитер равен r ≈7· км . Чему равен радиус экзопланеты?

Решение : Rп= 1,1·7 = 7,7· км

Ответ : Rп =7,7 · км

Задача 4 . Масса экзопланеты 51 Эридана b в 9 раз больше массы планеты Юпитер. Масса Юпитера 2* кг. Чему равна масса экзопланеты

51 Эридана b?

Решение: Мэ = 9*Мю = 9*2* кг = 18* кг.

Ответ: Мэ=18* кг

Задача 5 . Длина орбиты экзопланеты 51Эриданаb равна. 13* км Один оборот вокруг звезды экзопланета совершает за 15000 земных суток. С какой скоростью экзопланета движется по орбите (км/сут)?

Решение . V=130000* /15000≈ 8,7* км/сут.

Ответ: скорость звезды по орбите 8,7* км/сут

Проксима Центавра

Задача 6 . Около звезды Проксима Центавра (рис.9) движутся две экзопланеты; b (орбита АБВ) и c (орбита АКВ). (рис. 9) На участке АБВ эти экзопланеты движутся в одном направлении относительно неподвижных звезд, но с разными скоростями. Скорость экзопланеты b относительно далеких звезд, которые можно считать неподвижными, равна 30 км/с, а экзопланеты С равна 37км/с. С какой скоростью движется экзопланета b относительно экзопланеты с ?

Рис. 9

Решение. Примем планету С за неподвижную. Скорость экзопланеты b на участке АБВ меньше, чем экзопланеты С , так как она дальше от звезды. Следовательно, ее скорость будет равна 37км/с-30км/с=7км/с. Причем она будет отставать от экзопланеты с . На участке ВКА экзопланета b будет двигаться быстрее, чем экзопланета с и будет ее опережать.

Задача 7. Проксима Центавра b находится на расстоянии 7 млн км от звезды. Длина орбиты равна 44,1 млн км. Период обращения экзопланеты 11 земных суток. Какова средняя скорость (км/с) движения экзопланеты по орбите?

Решение. V= = = 4,64км/с

Задача 8. Масса Земли примерно равна 6* кг. Масса экзопланеты Проксима Центавра b в 1,73 раза больше. Чему равна масса экзопланеты Проксима Центавра b?

Решение. = 1,73*6* кг =10,2* кг

Задача 9. (фантастическая задача.) В условиях на поверхности экзопланеты проксима Центавра b возможна жизнь. Так как температура на поверхности равна -3 С, и атмосфера достаточно плотная, содержащая важные для жизни некоторых организмов газы.. Микроб Тихоходка (рис. 10) может обитать на поверхности этой экзопланеты. Тихододка движется по поверхности экзопланеты и преодолевает путь длиной 3 метра за 0,5 час. Какова его скорость в м/с?

Рис. 10

Рис. 11

Решение. V= ≈ 0,0067м/с

Задача 10. (фантастическая задача) Обнаружены организмы, которые не только могут обитать в условиях высокой радиации, но и радиация является необходимой составляющей жизнеобитания, как солнечный свет для обитателей Земли. Такое свойство присуще, так называемому, Чернобыльскому грибу (рис. 11), который растет в условиях высокой радиации. Аналогичный гриб вырос на поверхности экзопланеты Проксима Центавра С. Какой объем ножки гриба, если ее радиус 1,2 м, а высота 2м?

Решение . Объем =(площадь основания)· (высота)

(Площадь основания) = 3,14 · (радиу = 3,14· = 4,5216

Объем = 4,5216 · 2м=9,0432

Выводы:

Показаны некоторые методы обнаружения планетных систем. Рассмотрены тройная звезда Альфа-Центавра, особенности движения экзопланет около звезды Проксима Центавра и дано предположение обитаемости экзопланеты Проксима Цетавра b.

Составлена серия математических задач, иллюстрирующих некоторые математические характеристики звезд и экзопланет.

Литература:

1. Ипатов С. И. Устойчивые орбиты в зоне питания планеты Проксима Цетавра с//Астрономический вестник, 2023,Т57 № 3. Стр 248–261

2. Кологривов В. Н.«Эффект Доплера в классической физике», М.: МФТИ, 2012.

3. Экзопланета 51Эриданаbhttps://vk.com/new_horizons

4. Экстремофилы — жизнь на грани возможного/ https://www.gismeteo.ru/news/animals/ekstremofily-zhizn-na-grani-vozmozhnogo/

5. Тихоходка https://ru.wikipedia.org/wiki/Тихоходки

6. Чернобыльский гриб https://dzen.ru/a/aC872cTcp2Pb1EkL