Одним из важнейших жизненных этапов человека является выбор профессии. Разные профессии требуют знаний из различных областей наук и более специализированных, широких навыков в конкретных предметах.

Математика является одной из обязательных дисциплин при сдаче выпускных экзаменов в форме Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ). Она подразделяется на два уровня сложности: профильный и базовый.

Профильный уровень подразумевает более углубленное изучение предмета и более широкую программу для поступления в технические вузы.

Для решения более сложных заданий необходимы знания, не входящие в школьную программу. Для этого мы используем дополнительные источники информации, облегчает работу поиск в интернете.

В данной работе мы разбираем задание № 19 ЕГЭ.

Задание № 19 ЕГЭ по математике весьма необычно. Для его решения необходимо применить знания в области теории чисел, признаки делимости. Тем не менее, задание является весьма решаемым.

Работа относится к предмету математика.

Теоретический материал

Что нужно знать для решения задания № 19:

Простое число — это любое число, которое можно разделить само на себя и на единицу. Яркий и простой для запоминания пример — число 13.

Составными числами называют такие, которые не относятся к простым, то есть имеют делители, кроме единицы и самого себя. Иногда составные числа называют сложными.

Также для решения данного задания необходимо знать признаки делимости разных чисел для упрощения решений.

Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют признаком равноостаточности.

Вот некоторые признаки делимости:

Делимость на 2

Число делится на 2 без остатка тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2 без остатка (0 тоже делится на 2).

Делимость на 3

Число делится на 3 без остатка тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 без остатка.

Число 189 делится на 3 т. к. 1+8+9= 18. 18 делится на 3.

190 не делится на 3 т. к. сумма цифр не делится на 3.

Делимость на 4

Число делится на 4 без остатка тогда и только тогда, когда две его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 4 без остатка.

Пример: 125 не делится на 4. Т. к. 25 не делится на 4.

256 делится на 4 т. к. 56 делится на 4.

Делимость на 5

Число делится если его последняя цифра 5 или 0.

12345 делится на 5 т. к. последняя цифра 5.

356 не делится т. к. последняя цифра не 5 или 0.

Делимость на 8

Число делится на 8 без остатка тогда и только тогда, когда три его последние цифры нули или их сумма образует число, которое делится на 8 без остатка.

Пример: 952 делится на 8, так как на 8 делится 16.

19000 делится на 8 т. к. три последние цифры — нули.

123 не делится на 8 т. к. сумма не делится на 8.

Делимость на 9

Число делится на 9 без остатка тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 без остатка.

Пример: 18 делится на 9 т. к. 1+8+ 9.

222 не делится на 9 т. к. сумма не дает делимого на 9.

Делимость на 11

Число делится на 11 без остатка тогда и только тогда, когда сумма его цифр с чередующимися знаками делится на 11 без остатка .

Пример: 53856 делится на 11, так как (5 + 8 + 6) — (3 + 5) = 19–8 = 11 делится на 11.

Делимость на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13

Пример: 845 делится на 13, так как 84 + (4  5) = 104 делится на 13

Делимость на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17. Пример:

29053 → 2905 + 36 = 2941 → 294 + 12 = = 306 → 30 + 72 = 102 → 10 + 24 = 34.

Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17.

Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17.

Пример: 32952 → 3295–10 = 3285 → 328–25 == 303 → 30–15 = 15; поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17

Делимость на 25:

Число делится на 25, если его две последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25.

Пример: 675 делится на 25. Две последние цифры образуют число 75, которое делится на 25.

Практическое применение

Теперь рассмотрим типовые варианты задания № 19 и их решения.

№ 1 . Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 1629. В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Решение: Заметим, что число кратное 5 заканчивается на цифру 0 или 5. Но в обратном порядке число также четырёхзначное — значит, на 0 исходное число заканчиваться не может. Таким образом, последняя цифра исходного числа — 5.

Чтобы при разности получить число, заканчивающееся на 9 (1629), у второго числа последняя цифра должна равняться 6. Откуда следует, что исходное число равняется (6 * 1000+ х.* 100+ у * 10+5) а второе число равно

(5 * 1000 + у * 100 +x * 10+6). Таким образом, их разность равняется

(6 * 1000+ х.* 100+ у * 10+5) — (5 * 1000 + у * 100 +x * 10+6) = 1629

1000 + 90 * (x — y) –1 = 1629

90 *(x — y) = 630

x — y = 7

Получаем, что нам подойдёт любая пара цифр, отличающаяся на 7. Откуда имеем следующие варианты исходного числа: 6925, 6815, 6705

Ответ: 6925

Сборник И. В. Ященко 2024 г.

№ 2. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 120. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: Число не может начинаться с 0, значит, первая цифра равна 2. Также, ввиду того, что число должно делиться на 10, его последняя цифра — 0. Рассмотрим возможные варианты числа:

222000; 220200; 220020; 202200; 202020; 200220

Поделив на 120, получим следующие числа:

1850; 1835; 1833,5; 1685; 1683,5; 1668,5

Таким образом, нацело делятся только числа: 222000, 220200, 202200.

Ответ: 222000

№ 3 . Найдите четырёхзначное число, большее 4000, но меньшее 6500, которое делится на 60 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответ укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: Чтобы число делилось на 60, оно должно делиться и на следующие множители: 60=2*3*10*1. Так как число делится на 10, то оно должно оканчиваться на 0.

Если мы поделим искомое число на 10, оно все ещё должно делиться на 2, значит должно оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8. Попробуем взять на третью позицию цифру 2 (0 брать нельзя, так по условию каждая следующая цифра должна быть меньше предыдущей).

Теперь надо выбрать такие две первые цифры, чтобы их сумма давала остаток один при делении на 3 (тогда сумма всех цифр числа будет делиться на три => всё число будет делиться на три). Возьмём цифры 4 и 3 на первые две позиции также можно взять цифры 6 и 4 тогда итоговое число будет 6420). Тогда число будет иметь вид 4320. 4320/60 = 72 => данное число нам подходит.

№ 4 Найдите чётное пятизначное натуральное число, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: Во-первых, все цифры должны быть ненулевыми — иначе произведение цифр будет равно 0. Рассмотрим число 11111 — сумма цифр равна 5, а произведение — 1. Будем постепенно увеличивать цифры, пока произведение не сравняется с суммой. 11112 — сумма равна 6, произведение равно 2. 11122 — сумма равна 7, произведение равно 4. 11222 — сумма равна 8, произведение равно 8. При этом число 11222 — чётное, а значит, подходит.

В решении показан один из вариантов решения. Все возможные варианты чисел можете посмотреть в ответе.

Варианты правильных ответов:

11152 . 11512 . 15112 . 51112 . 11222 . 12122 . 21122 . 12212 . 21212 . 22112

№ 5 Найдите четырёхзначное число, кратное 75, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: Учисла, кратного 25, последние две цифры — 00, 25, 50 или 75. Раз все цифры нечётные, то подходит только 75.

Также сумма цифр у нашего числа должна быть кратна 3 (так как оно само кратно 3) — уже кратно 3, значит, сумма первых двух цифр тоже кратна 3. Среди нечётных цифр остались 1, 3 и 9. Несложно видеть, что единственная пара с суммой кратной 3–3 и 9.

Таким образом, подходят числа 3975 и 9375.

Вывод хочется начать с высказывания наших великих учителей: «Знания — самый лёгкий груз, который мы можем постоянно носить с собой».

В ходе проделанной работы мы расширили наши знания в теории чисел, узнали о новых признаках делимости чисел, которые не входят в школьную программу. Научились на практике решать задание № 19 базового уровня ЕГЭ по математике.

Продолжить вывод хочется следующим высказыванием: «Терпение и труд всё перетрут». Для получения знаний необходимо проявить трудолюбие, усидчивость, внимательно изучать материал и у всех нас все получится!

Добавим от себя: в наше сложное время у каждого в стране своя задача, а наша задача — хорошо учиться и хорошо сдать выпускные экзамены, чтобы овладеть нужной профессией.