В статье описываются формирование потребности в логическом доказательстве, а также примеры составленных задач на доказательство. Основные виды задач на доказательство, используемые в 5классе, опираясь на основные направления пропедевтической работы, описанные В. А. Далингером.

Ключевые слова: доказательство, пропедевтическая работа.

Проблема в логическом доказательстве встает при переходе учащихся в 7 класс, когда перед детьми возникает вопрос о поведении первых доказательств. Трудности появляются из-за не подготовки учащихся к доказательствам. Многие из нас считают, чтобы избежать доказательству теорем, целесообразно начинать данную работу в 5–6 классах.

Дети данного возраста (10–11 лет) уже осмысливают закономерности и связи, опираясь на восприятие. При этом важная роль учителя — познакомить детей с тем как доказывать и вовлечь их в учебную деятельность. При этом содержание должно быть таким, чтобы теоретические факты были получены эмпирическим путем.

Современные учебники содержат задания на доказательство, но их мало, в основном упражнения направлены на формирование навыка решения задач. Поэтому возникает необходимость в составлении упражнений, направленных на формирование потребности в логическом доказательстве.

Задания составленного нами комплекса опираются на основные направления пропедевтической работы, описанные В. А. Далингером . Рассмотрим более подробно задания для 5 класса направленные на пропедевтику обучения доказательству теорем и развитие умений лежащих в основе доказательства теорем, представленные в таблице 1.

Таблица 1

В пятом классе разработаны задания по 7 темам «Простые и составные числа», «Признаки делимости», «Углы. Многоугольники», «Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)», «Умножение десятичных дробей», «Множества», «Делители и кратные».

№ 1. Тема «Простые и составные числа».

Задания:

1. Найди среди рядов чисел лишний:

а) 5,7,13,19;

б) 3,23,41,53;

в) 8,10, 14,26;

г) 2,17, 61,67.

Ответ: в

2. Сравни ряд чисел и найди лишний:

а) 4,12,44,56;

б) 6,8,16,25;

в) 3,23,41,59;

г) 10,22,64,85.

Ответ: в.

1. Исключи лишнее слово:

Делитель, простое число, переменная, кратное, составное число.

Ответ: переменная

2. Установи закономерность и укажи недостающее число:

111931

132337

1729?

Ответ: 41 (закономерность простых чисел, следующее за 37).

№ 2. Тема «Умножение десятичных дробей»

Задания.

1. Умножь числа, используя правило умножения десятичных дробей:

а) 4,367 10;4,367 100;4,367 1000;

б) 0,051 10;0,051 100;0,051 1000.

Ответьте на вопросы: чем отличается положение запятой в значении произведения от её положения в первом множителе? Сколько нулей во втором множителе?

2. Вставь пропущенное число:

Ответ: 1,74 ( ).

3. Вставь пропущенное число

4. Продолжи числовой ряд: 1,8; 2,0; 2,4; 3,2; ?

Ответ: 4,8 ( ).

№ 3. Тема «Признаки делимости».

1. Выделите в математических утверждениях условие и заключение:

а) если запись числа оканчивается на 4, то число делится на 2;

б) если запись числа оканчивается на 6, то число делится на 2;

в) если запись числа оканчивается на 0, то число делится на 2;

г) если запись числа оканчивается на 2, то оно не делится на 5;

д) число, запись которого оканчивается на 2, не делится на 5;

е) если сумма цифр числа делится на 9, то натуральное число делится на 9.

2. Составьте математическое утверждение по его условию «Число, сумма цифр которого делится на 3, …»
3. Составьте математическое утверждение по его заключению «….., то числа делятся на 10».

№ 4. Тема «Углы. Многоугольники»

1. Определи количество углов, изображенных на рисунке.

2. Перечисли четырехугольники, изображенные на рисунке.

3. Определи количество треугольников на рисунке.

4. Сделай необходимые измерения и вычисли периметр фигуры, изображенной на рисунке.

№ 5. Тема «Множества».

1. Ученики 5 класса во время летних каникул отдыхали в лагерях «Березка» и «Тамань». Из них 14 провели время в лагере «Березка», 8 — посетили лагерь «Тамань», а 5 — посетили оба лагеря. Сколько учащихся в классе?
2. У 6 учащихся класса имеются набор для тенниса, а у 7 — набор для баскетбола. Из них 3 учащихся имеют набор для тенниса, но у них нет набора для баскетбола. А у 4 учащихся есть набор для баскетбола, но нет для тенниса. Сколько учащихся имеют наборы для тенниса и баскетбола? Изобрази решение задачи на кругах Эйлера-Венна.
3. В классе у учащихся есть бадминтон, штанга и ракетки. Используя рисунок 7, ответь на вопросы:

а) Сколько учащихся имеют бадминтон?

б) Сколько учащихся имеют штангу?

в) Сколько учащихся имеют ракетки?

г) Сколько учащихся имеют бадминтон и штангу?

д) Сколько учащихся имеют бадминтон и ракетки?

е) Сколько учащихся имеют бадминтон, штангу и ракетки?

4. Из 50 студентов 40 человек владеют русским языком, 30 — английским, 10 — казахским, 15 — русским и английским языками, 5 — русским и казахским, 5 — английским и казахским. Сколько студентов владеют тремя языками?

№ 6. Тема «Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)».

1. Как измениться наибольший общий делитель двух и более числе, если каждое из них уменьшить в 2 раза? (Ответ: наибольший делитель этих чисел тоже уменьшиться в два раза).
2. Если несколько чисел умножить на одно и тоже число, то наибольший общий делитель данных чисел ____________. (Ответ: умножиться на это число)
3. Какая связь между наибольшим общим делителем двух чисел с меньшим из данных чисел? (Ответ: наименьший общий делитель равен меньшему из данных чисел).
4. Каким числом будет являться наименьший общий делитель двух чисел, если одно из них кратно другому? (Ответ: наименьший общий делитель является наименьшим числом из данных).
5. Что можно сказать за наименьшее общее кратное, если числа являются взаимно простыми? (Ответ: наименьшее общее кратное равно их произведению).
6. Если каждое из данных чисел умножить на одно и тоже число, то что можно сказать за НОК? (Ответ: наименьшее общее кратное тоже уменьшиться на это число).

№ 7. Тема «Делители и кратные»

1. Если 125 делится на 5, а 368 не делится на 5. Делится ли 125 368 на 5? Ответ необходимо обосновать.
2. Делится ли число на k , если число делится на k, а число нет. Обоснуй ответ.
3. Если число р делится на , а число k не делится на , то делится ли значение суммы р + на ? Обоснуй свой ответ.
4. Получен остаток 9 при делении числа в на 16. Подумай, правильно ли выполнено деление?
5. Докажи, что число k кратно 7, если число k кратно 49. Обоснуй свой ответ.
6. Докажи, что а кратно в , то в — делитель а . Обоснуй свой ответ.
7. Докажи что число а простое, если а:1 и а:а .
8. Докажи, если число является простым, то оно имеет два делителя. Обоснуй свой ответ.
9. Не выполняя вычислений, докажи, что число 12 является делителем числа 24 и кратным 6.
10. Обоснуй высказывание «Число 93 делитель числа 9579».

Литература:

1. Далингер В. А. Методика обучению учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя. — М.: Просвещение, 2006. — 256с.