В статье автор исследует на разрешимость задачу типа Коши, в уравнении которой содержатся слагаемые с конформабельной дробной производной.

Ключевые слова: конформабельная дробная производная, задача типа Коши, метод Лагранжа.

Введение

Конформабельные производные являются сравнительно новой формой дробных производных, которые сохраняют важные свойства обычных производных (линейность, цепное правило и др.), что делает их удобными для анализа и моделирования. Такие производные успешно применяются в моделировании процессов с эффектом памяти или наследуемости (в физике, биологии, экономике и инженерии), а задача Коши — это базовая постановка, определяющая начальные условия и развитие процесса.

Пусть функция . Тогда, для всех “конформабельная дробная производная” от функции f определяется в виде [1]:

, (1)

где (0, 1) и является порядком дробной производной.

Если у функции f существует конформабельная дробная производная порядка , тогда будем говорить, что f -дифференцируемая.

Если функция -дифференцируемая в точке , тогда — непрерывная в точке .

Пусть и функции f, g — дифференцируемые функции при . Тогда справедливы следующие соотношения:

1) (f) + b (g).

2) ( ) = p .

3) ( ) = 0, для всех линейных функций f(t) = .

4) (fg) = (f)g + (g)f.

5) ( ) =

Если f дифференцируемая функция, тогда [2]:

(f)(t) = (t). (3)

Постановка задачи

В области , требуется найти решение уравнения:

, (4)

где — непрерывная дифференцируемая (в классическом смысле) функция при . Решение дифференциального уравнения удовлетворяет следующим условиям:

, , (5)

где — порядок производной.

Решение ищем в пространстве функций: , где const .

Задачу типа Коши (4)-(5) решаем методом вариации произвольных постоянных [3].

Решение задачи типа Коши (4)-(5)

Используя свойство (3) конформабельной дробной производной, вычислим :

(6)

. (7)

Подставив (6) и (7) в уравнение (4), получим обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

. (8)

Общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (8), имеет вид:

. (9)

где — функция ошибок.

Общее решение неоднородного уравнения ищем методом вариации постоянных, константы и в выражении (9) варьируем, то есть решение неоднородного уравнения ищем в виде:

, (10)

где и — пока неизвестные функции. Следуя методу Лагранжа, найдем и :

,

.

Подставив найденные и в (10), получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка (8):

, (11)

где :

. (12)

Применив начальные условия (5) к полученному общему решению (12), найдем .

Методом от «противного» можно показать, что полученное решение будет единственным.

Основной результат

Доказана Теорема

Теорема

В области , задача типа Коши:

,

, ,

где — непрерывная дифференцируемая (в классическом смысле) функция при , — конформабельная производная порядка

имеет единственное решение в пространстве функций: , где const , определяемое формулой

,

где

,

где — функция ошибок.

Заключение . Итак, в работе

1. Изучено понятие конформабельной дробной производной.
2. Произведена постановка задачи типа Коши с конформабельной дробной производной в уравнении.
3. Доказана теорема существования и единственности решения поставленной задачи.

В-дальнейшем планируется:

1. Расширить интервал изменения порядка производной
2. Рассмотреть применение конформабельной дробной производной для решения дифференциальных уравнений в частных производных.
3. Исследовать на разрешимость задачу типа Коши, в которой начальные условия содержат конформабельную дробную производную.

Литература:

1. R. Khalil A new definition of fractional derivative// Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2014. — 264 (2014) 65–70. — P. 65–70.
2. Thabet Abdeljawad On conformable fractional calculus // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2014. –279(2015)57–66. — P. 58–66.
3. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: МЦНМО, 2012.