Несобственные интегралы. Метод обратных координат

Пономаренко Артем Николаевич

В данной статье представлена связь между несобственными интегралами первого рода и несобственными интегралами второго рода, а также особые приемы вычисления несобственных интегралов. Если имеется значение некоторого, не берущегося элементарно, несобственного интеграла, то методом поворота координат и переходом к обратной функции можно отыскать значение еще нескольких не берущихся интегралов.

Перед изложением основных формул будет представлен несколько иной метод нахождения интеграла

Рассмотрим тождество:

(1)

которое очевидно справедливо, так как

С другой стороны:

В свою очередь, (подстановка: )

Тогда ,

и исходя из этого,

Подставляя этот последний результат в формулу (1):

(2)

Исходя из (2) и (1):

(3)

Это тождество можно представить в виде: , так как .Если в интеграле произвести подстановку , то он будет иметь вид: . Последний интеграл подстановкой сводиться к интегралу:

Тогда , и на основании (3):

(4)

Теорема 1:

1) Пусть непрерывна и строго возрастающая в , и . Тогда справедлива формула:

(5)

2) Пусть непрерывна и строго спадающая в , и. Тогда справедлива формула:

(6)

Доказательство:

Ограничимся вторым случаем. Так как функция непрерывна и строго спадающая в , то она необходимо имеет и обратную функцию . Это дает возможность преобразовать несобственный интеграл первого рода в несобственный интеграл второго рода с особой точкой .

Сходимость или расходимость несобственных интегралов при подобных преобразованиях не нарушается.

Отыскание обратной функции к функции осуществляется по такому правилу: функцию следует преобразовать явно в виде , после чего поменять в ней переменные и местами, т.е. представить в виде . Последняя функция и будет обратной к функции , и обозначается: .

Пример 1: Пусть дана функция:. Найти функцию обратную к ней.

, и меняя и местами:

В дальнейших примерах (кроме примера 5-го и 6-го) будет показано, как имея значения лишь двух интегралов: и , возможно определить специальными методами, в особенности поворотом координат, значения многих других интегралов, которые так же не берутся элементарно.

Пример 2: Вычислить , если известно, что

Решение:

(подстановка

Применяя формулу (5):

Тогда:

(7)

Как известно,

(Подстановка )

Исходя из последнего тождества и (7) выходит система из двух уравнений:

Прибавляя первое уравнение системы ко второму, находим:

,

и окончательно:

(8)

Исходя из (7) и (8):

(9)

И, исходя из (8) и (9), легко вывести окончательный результат:

(10)

В данном примере для отыскания решения интеграла (10) была применена в начале метода вычисления первая из формул теоремы 1, что сыграло немаловажную роль в отыскании значения данного интеграла.

Теорема 2:

Пусть непрерывна и строго спадающая (или строго возрастающая) в , – особая точка, , . Тогда справедлива формула:

(11)

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 1. Только в этом случае несобственный интеграл второго рода преобразуеться в несобственный интеграл первого рода.

Пример 3: Вычислить в конечном виде.

С одной стороны ; с другой стороны, по формуле (11):

Применение формулы (11) оправдано, так как и особая точка:

(подстановка: ).

Тогда:

И окончательный результат будет иметь вид:

Теорема 3: Пусть непрерывна и строго спадающая (или строго возрастающая) в промежутке , , – особая точка. Тогда имеет место формула:

(12)

Доказательство: начальные рассуждения аналогичны с теоремой 2, но в этом случае, в точке функция не достигает значения . Поэтому, если рассмотреть данный вопрос с геометрической точки зрения, т.е. усмотреть значение интеграла как площади, ограниченной некоторой осью с одной стороны и некоторой непрерывной интегрируемой функцией с другой, – то очевидно, уравнение (11) не будет полным, так как к значению интеграла от обратной функции необходимо прибавить площадь оставшегося прямоугольника с вершинами: , , , .

Пример 4: Вычислить

Так как , то принимая этот интеграл за начальную функцию, а искомый интеграл за обратную функцию, по формуле (12):

Подставляя в последнее тождество значение интеграла и преобразуя:

,

далее подстановка: , которая приводит к окончательному результату:

(13)

Исходя из (13) можно получить разложение:

Обобщенные формулы:

, – особая точка (14)

, – особая точка (15)

Обе формулы представляют собою преобразование несобственного интеграла второго рода в несобственный интеграл первого рода. Формула (14) выводиться из формулы (12) параллельным перемещением оси из начального положения в особую точку . При этом все условия существования несобственного интеграла первого рода, полученного из несобственного интеграла второго рода – сохраняются. Формула (15) являет собою аналог (14) в случае особой точки .