Как известно, числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с некоторым числом, называется арифметической прогрессией [1]. А числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое отличное от нуля постоянное число, называется геометрической прогрессией [1]. Из определения арифметической и геометрической прогрессий мы видим, что они основаны на арифметических действиях суммы (разности) и умножения (деления). Возникает вопрос: существует ли прогрессия, которая основана на действии возведение в степень число. В работе [2] был определен новый вид прогрессии — показательная прогрессия.

Также в работе [2] в качестве характеристического свойства показательной прогрессии рассматривается следующее утверждение. Если — показательная прогрессия, то для любого натурального выполняется равенство

В данном проекте будет доказана другая формула, описывающая характеристическое свойство показательной прогрессии. Также будет рассмотрено неравенство — аналог неравенству Коши [3].

Ключевые слова: числовые последовательности, прогрессия, показательная прогрессия, неравенство Коши.

Докажем следующую теорему, описывающую характеристическое свойство показательной прогрессии.

Теорема 1. Для каждого члена показательной прогрессии, начиная со второго, выполняется равенство:

Доказательство. По определению [2] показательной прогрессии

Отсюда следует, что

т. е.

Преобразуем полученное выражение

(1)

что и требовалось доказать.

Выразим из равенства (1).

Так как характеристическое свойство арифметической прогрессии построено на основе арифметической средней, а геометрическая прогрессия — на основе геометрической средней, то характеристическое свойство показательной прогрессии должно построено на основе какой-то другой числовой средней. В качестве этой средней будем считать последнее из равенств.

Определение 1. Пусть даны два положительных числа . Причем эти числа либо больше единицы, либо меньше единицы одновременно. Средним показательным чисел называется величина, определяемая следующим образом:

(2)

Замечание 1. Если заменить местами , значение средней показательной не изменится.

Доказательство. Преобразуем выражение (2) следующим образом:

что и требовалось доказать.

Замечание 2. Среднюю показательную можно определить и следующим образом:

где — это такое произвольное положительное число, как , одновременно с ними либо больше единицы, либо — меньше.

Доказательство. Преобразуем выражение (2) следующим образом:

что и требовалось доказать.

Введем обобщенное определение средней показательной для чисел.

Определение 2. Пусть даны положительные числа и . Причем эти числа либо больше единицы, либо меньше единицы одновременно. Средним показательным чисел называется величина, определяемая следующим образом:

Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического — это неравенство называется неравенством Коши [3]: если , , то

В более общем виде: для неотрицательных чисел справедливо неравенство между их средним арифметическим и средним геометрическим

причем равенство возможно лишь при условии .

Рассмотрим следующую теорему, описывающую связь между неравенством Коши и средним показательным.

Теорема 2. Пусть даны числа , каждое из которых больше единицы. Тогда выполняется следующее неравенство:

причем равенство возможно лишь при условии

Доказательство. Запишем неравенство Коши для чисел .

Используя свойства логарифма числа, преобразуем это выражение следующим образом:

что и требовалось доказать.

Теорема 3. Пусть даны числа , каждое из которых меньше единицы. Тогда выполняется следующее неравенство:

Причем равенство возможно лишь при условии

Доказательство. Запишем неравенство Коши для чисел .

Используя свойства логарифма числа, преобразуем это выражение следующим образом:

или

что и требовалось доказать.

Замечание 3. Пусть даны положительные числа и . Тогда выполняются неравенства

причем равенство возможно лишь при условии .

Литература:

1. Н. Я. Виленкин / Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математикик / Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев / — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1999. — С.384: ил. — ISBN 5–09–009020–3
2. Н. К. Гульманов / Определение нового вида прогрессии, основанной на операции возведения в степень, и изучение ее основных свойств / Н. К. Гульманов, Н. А. Марчук // «Высокое качество и лидерство в образовании»: сборник докладов Международной научно-практической конференции (13–15 ноября 2013 года)/ АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы». Часть 1. — Астана, 2013. — С. 120–124
3. П. П. Коровкин / Неравенства / Популярные лекции по математике, выпуск № 5/ — М.: Издательство «Наука», 1974. — С. 54
4. И. С. Соминский / Метод математической индукции / Популярные лекции по математике, выпуск № 3/ — М.: Издательство «Наука», 1972. — С. 63