Приведен расчет объемного конечного элемента четырехугольной формы поперечного сечения при различных вариантах аппроксимации  перемещений.

Ключевые слова: Четырехугольный конечный элемент, полином, матрица-строка, производные узловых перемещений, аппроксимация.

Узловые неизвестные и аппроксимация перемещений.

В каждом узле конечного элемента в качестве узловых неизвестных принимаются перемещения и их первые производные. Столбец узловых неизвестных в глобальной системе координат имеет вид

,                                                                                          (1)

где

;

;                                                       (2)

 - производные перемещений в радиальном и осевом направлениях по глобальным координатам r и z.

Вектор узловых неизвестных рассматриваемого конечного элемента в локальной системе координат представляется аналогично

,                                                                                           (3)

где

;

;                                                      (4)

 - производные перемещений радиального и осевого перемещений в локальной системе координат  и η.

Ввиду того, что между глобальными и локальными координатами существует связь, то на ее основе можно производные функций в одной системе выразить через производные функций в другой системе

;                    ;

;                    .                               (5)

На основании выражений (5) можно сформировать матричные соотношения между векторами узловых перемещений

                      (6)

и представить их в компактном виде

;                    .                                                       (7)

С использованием (7) формируется матричное соотношение между полными векторами узловых неизвестных конечного элемента в локальной и глобальной системах координат

,                                                                                                      (8)

где.

Перемещения внутренней точки конечного элемента определяются через векторы узловых перемещений в локальной системе координат с использованием аппроксимирующих функций

            (9)

Здесь под символом q понимается радиальное перемещение u или осевое перемещение ν, а функции  представляют собой полиномы Эрмита, определяемые формулами

;                    ;

;               ,                           (10)

где символом λ обозначается локальная координата  или η.

Для представления аппроксимирующих выражений в матричной форме введем обозначение матрицы-строки полиномов Эрмита в виде

.              (11)

С использованием (11) радиальное и осевое перемещения z внутренней точки конечного элемента определяются матричными соотношениями

;               ,                                                  (12)

а вектор-столбец перемещений внутренней точки дискретного элемента можно представить в виде

,                                                                                                        (13)

где матрица [A] имеет вид

Производные перемещений внутренней точки конечного элемента в глобальной системе координат r, z получаются дифференцированием  выражений (12)

;

;

;

.                                                                         (14) Деформации внутренней точки конечного элемента могут быть выражены через узловые неизвестные в матричном представлении

,                                                                 (15)

где матрица [B] имеет вид

.                                                      (16)

Литература

1.      Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. Пер. с англ. М.: Мир, 1976, 464 с.

2.      Самуль В.И.Основы теории упругости и пластичности. М.: «Высшая школа, 1970, 288 с.

3.      Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974, 344 с.