Статья интересна будет проектировщикам, занимающимся расчетами на прочность, студентам, изучающим сопротивление материалов, а также преподавателям технических вузов. При расчете стержня переменного поперечного сечения, работающего на сжатие и изгиб, возникает необходимость определить прочность стержня. К таким расчетным схемам можно, например, привести буксировочные водила для летательных аппаратов. Решение подобных задач унифицировано можно решить с помощью предложенной методики. В ней имеется вывод формулы и предложены примеры использования выведенной формулы.
Расчёт ведется по следующей схеме:
- определяем критическую сжимающую нагрузку для стержня переменного сечения;
- определяем величину 
эквивалентного стержня постоянного сечения. Критерием эквивалентности принимаем равенство критической разрушающей нагрузки как для стержня переменного, так и постоянного сечений
(1)
(2)
—нагружаем эквивалентный стержень постоянного сечения нагрузкой стержня переменного сечения и находим изгибающие моменты, которые считаем, верны и для стержня переменного сечения.
При выводе формул используются обозначения-
-модули упругости материалов и моменты инерции участков,
— длины участков.
=
— коэффициент
Формулы выводили на основе теории малых деформаций, составляя дифференциальные уравнения упругой линии стержня на каждом из участков.
Рис.1. Расчётная схема
Вывод формулы для определения 
Дифференциальные уравнения упругих линий участков.
= — F
= — F
= -F
Решения дифференциальных уравнений.
+ 
= 
+ 
+
= 
Постоянные интегрирования найдём из следующих условий
Берём два участка 𝒊 и (𝒊+1).
Участок 𝒊
При X =
= 
При X = 
=
Решение системы из двух уравнений
*(
*(
Участок (𝒊+1)
При X = 
При X =
= 
Решение системы из двух уравнений
Так как два участка изогнутой оси имеют одну и ту же касательную, при X=
или
—
(3)
(4)
Подставляя уравнение (4) для каждого стыка стержня получим систему уравнений для определения 
Определение Fкр для следующих расчётных схем с использованием формулы (4).
Рис. 2. Расчетная схема
Для стыка 1 
=0, и по формуле (4) п
*
(5)
Для расчетной схемы Рис.3, используя формулу 4 для стыков 1 и 2, получим систему из двух уравнений.
Рис. 3. Расчетная схема
*
*
- 
—
Приравнивая определитель системы уравнений к 0, имеем уравнение для определения 
.
*
*
(6)
Решая трансцендентные уравнения определяем Fкр.
Общее решение для определения Fкр
Якобиевая матрица, коэффициенты которой определяются
подстановкой уравнения (4) для каждого стыка балки.
Алгоритм решения трансцендентного уравнения методами: табуляции, деления отрезка пополам приведен в Приложении № 1 на языке Visual Basic 6.
Приложение № 1
Private Sub Command1_Click()
e = 0.005
maxi = 10
a = Val(InputBox(«vvedite granicy otreska a: "))
b = Val(InputBox(«vvedite granicy otreska b: "))
Call Tabulation(a, b, 2.5)
For I = 1 To maxi
fa = f(a)
fb = f(b)
If fa * fb < 0 Then
x = (a + b) / 2
fx = f(x)
Debug.Print " iteraciya= " + CStr(I)
Debug.Print " x= " + Format(x, "00.00")
Debug.Print " (f(x))= " + Format(fx, "00.0000")
If Abs(fx) < e Then
Debug.Print " reschenie naideno, x= " + CStr(x)
Debug.Print " za " + CStr(I) + " iteraciya!!!"
solution = True
Exit Sub
Else
If fa * fx < 0 Then
b = x
End If
If fx * fb < 0 Then
a = x
End If
End If
Else
Debug.Print " iteraciya = " + CStr(I)
Debug.Print ": f(a)= " + Format(fa, "00.0000")
Debug.Print ": f(b)= " + Format(fb, "00.0000")
Debug.Print " otrezok [a,b] vibran neydachno!!!"
Exit Sub
End If
Next I
If Not solution Then Debug.Print «reschenie ne naideno za», maxi, «iteraciya»
End Sub
Function f(x)
f = 1.57 / Tan(0.008 * x) + 1 / Tan(0.009 * x)
End Function
Sub Tabulation(a, b, abstep)
Debug.Print "---tabylyaciya fynkcii---"
For x = a To b Step abstep
Debug.Print «x= " + Format(x, "00.00") + ": " + «f(x)= " + Format(f(x), "00.0000")
Next x
Debug.Print "-----------------------"
End Sub
Литература:
1. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Т.2.
