Пусть 
. Рассмотрим вещественнозначную аналитическую функцию 
на 
. Получен одно важное представление для этой функции.
Условие 1. Функция 
является четной по совокупности переменных 
, (
), имеет единственный невырожденный минимум в точке 
и существуют положительно определенная матрица 
, числа 
такие, что
.
Замечание. Условия 1 выполняется в случае, когда
,
где
.
Действительно, простые вычисления показывают, что
;
;
.
Поэтому
,
где 
единичная матрица размера 
.
Положим
и 
.
Теорема 1. Пусть выполняется условия 1. Тогда существует некоторая 
-окрестность 
точки такая, что имеет место равенство
и 
. Здесь функция 
удовлетворяет условию
(1)
для некоторого 
.
Доказательство. Так как функция 
аналитична, то по формуле Тейлора для функций с несколькими переменными существует 
такое, что
для каждого 
, где
(2)
и 
- положительные числа, 
.
Функция 
- чётна, следовательно,
.
Функция 
- аналитична, поэтому [1] существует положительное число 
, ограничивающее все частные производные 4-порядка функции 
, именно,
для каждого 
. Из (2) имеем
.
Так как - симметричен, т.e. 
, получим
(где 
означает транспонированную матрицу).
Поэтому
По условию 1
и матрица
положительно определена. Отсюда следует, что 
и, следовательно, 
. Теорема 1 доказана.
Теорема 1 играет важную роль при изучении поведении определителя Фредгольма соответствующий модели Фридрихса.
Литература:
- В. А. Зорич. Математический анализ. Часть I. Изд-во ФАЗИС, Москва, 1997.
