В статье рассматривается задача управления перемещением квадрокоптера вдоль координатной оси. За счет допустимых преобразований математическая модель приводится к системе из двух подсистем канонического вида. С помощью метода нелинейной стабилизации находится стабилизирующее управление. Выполнено численное моделирование замкнутой управлением системы в среде MATLAB.

Ключевые слова: стабилизирующее управление, метод нелинейной стабилизации, квадрокоптер

Квадрокоптер — беспилотный летательный аппарат с четырьмя несущими винтами, причем два винта, расположенных диагонально, вращаются в одну сторону, а остальные два — в другую. Особенность квадрокоптера состоит в том, что он имеет шесть степеней свободы (три из которых — это координаты аппарата в неподвижной системе координат, остальные три — это угловые координаты, связанные с подвижной системой координат), а управляющих параметров всего четыре — угловые скорости вращения винтов.

Математическая модель квадрокоптера (математическая модель движения твердого тела в углах Крылова) имеет следующий вид [1]:

(1)

где — масса твердого тела; — ускорение свободного падения; — матрица инерции; — координаты центра масс (в НСК); — суммарная сила тяги (по модулю) четырех винтов; — угол рыскания; — угол тангажа; — угол крена; — компоненты вектора угловой скорости (в ПСК); — суммарный момент сил.

Рассмотрим перемещение квадрокоптера вдоль одной из координатных осей НСК, например, вдоль оси Y. Считаем, что координаты по остальным осям X и Z остаются постоянными и равными нулю. Тогда, углы рыскания и тангажа , а также угловые скорости и тождественно равны нулю. В системе (1) полагаем

где — нулевой вектор-столбец. Эти условия налагают на поведение системы следующие ограничения:

(2)

а уравнения движения принимают следующий вид:

(3)

В этой системе два параметра, связанных с управлением: сила тяги винтов F и составляющая момента сил .

Для подсистемы S₁ рассмотрим отклонение , где — требуемое значение на оси Y. Введем обозначения: и Подсистема S_{1 —} система канонического вида, в переменных записывается следующим образом:

Управление выберем таким образом, чтобы отклонение асимптотически стремилось к нулю:

где и — некоторые положительные константы. С другой стороны,

Из этой системы нетрудно выразить угол крена:

Для подсистемы S₂ рассмотрим отклонение , где — требуемый угол крена квадрокоптера. Введем обозначение: , причем

(4)

Подсистема S_{2 —} система канонического вида, в переменных записывается следующим образом:

Управление выберем таким образом, чтобы отклонение асимптотически стремилось к нулю:

(5)

где и — некоторые положительные константы, причем

(6)

Таким образом, используя выражения (2) и (5), можно однозначно определить силу тяги винтов и составляющую момента для системы (3). Заметим, что полученные управления можно подставить и в исходную систему (1) — выражения (2) и (5) будут гарантировать перемещение квадрокоптера вдоль оси Y.

Результаты численного моделирования, выполненного в среде MATLAB, для системы (1) с управлениями (2) и (5) представлены на рис. 1–6 при следующих значениях параметров рассматриваемой системы и управления [2]:

Начальное положение квадрокоптера — , конечное — . Данная ситуация соответствует задаче перемещения аппарата вдоль оси Y.

Начальные условия:

По результатам моделирования (см. рис. 1–6) можно сделать вывод о работоспособности построенного стабилизирующего управления. Аналогично можно решить задачу перемещения квадрокоптера вдоль оси X. Заметим, что поворотом неподвижной системы координат относительно оси Z, всегда можно добиться совпадения некоторой прямолинейной траектории с осью Y.

Рис. 1. Сила тяги

Рис. 2. Составляющая момента сил

Рис. 3. Координата Y

Рис. 4. Угол крена

Рис. 5. Угловая скорость

Рис. 6. 3D-траектория квадрокоптера

Литература:

1. Канатников А. Н., Акопян К. Р. Управление плоским движением квадрокоптера // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 2. С. 23–36. DOI: 10.7463/mathm.0215.0789477
2. Tayebi A., McGilvray S. Attitude stabilization of four-rotor aerial robot // 43^rd IEEE Conference on Decision and Control. 2004. Vol.2. P. 1216–1221