Ключевые слова: квадрокоптер, система управления, пространство состояний, LQR, асимптотические наблюдатели, регулятор

Данная статья основана на работе с математической моделью БПЛА с четырьмя несущими винтами, вращающимися в диагонально противоположных направлениях. Данная математическая модель представляет собой совокупность SISO-подсистем, полученных путем линеаризации и декомпозиции системы, выведенной в [1]. Для построения закона управления используется технология LQR-синтеза, описанная в [2]. Полученный регулятор посредством имитационного моделирования в пакете прикладных программ MATLAB & Simulink сравнивается с регулятором, синтезированным при помощи MIMO-системы до ее декомпозиции.

Основным объектом данной работы является совокупность SISO-подсистем (1), полученная из модели динамики квадрокоптера вида (2), представленной в [1], путем линеаризации в окрестности положения равновесия (3) и последующей декомпозиции, основанной на предположениях (4) о виде управляющего сигнала.

.(2)

(3)

(1)

.(4)

Здесь управляющий сигнал представляет собой квадрат угловой скорости винта -го мотора квадрокоптера, — координаты центра масс квадрокоптера в абсолютной системе координат, — углы Эйлера, представляющие собой ориентацию квадрокоптера (крен, тангаж и рысканье соответственно). Значение находится из уравнения вертикальной динамики квадрокоптера с допущением, что при данной величине управляющего сигнала БПЛА висит в воздухе неподвижно (по оси ) в горизонтальном положении:

Таким образом, значение управляющего сигнала определяется как

где — масса квадрокоптера, — сила тяжести и — коэффициент тяги моторов. Подробнее с исходной нелинейной моделью квадрокоптера (а так же с ее выводом) вы можете ознакомиться в [1]. Величины определяются следующим соотношением:

Для построения законов управления для совокупности подсистем (1) воспользуемся LQR-синтезом. Данный метод подразумевает собой модальный синтез с условием, что корни системы располагаются так, чтобы минимизировать функционал (5), отвечающий за оптимальное энергопотребление при желаемом быстродействии.

Пусть имеется SS-модель:

с линейной обратной связью .

Синтез управления заключается в решении задачи оптимизации (5) относительно SS-системы.

(5)

Матрицы задаются, обычно, таким образом, чтобы регулятор удовлетворял желаемой динамике. Чем больше значения коэффициентов относительно коэффициентов , тем интенсивнее будет управляющий сигнал.

Матрица , в таком случае, имеет вид где находится из матричного уравнения Риккати

.

Методология LQR-синтеза требует полной измеряемости вектора состояния, а SISO-система по своей сути не обеспечивает полноты набора измеряемых величин, если вектор состояния состоит более чем из одной компоненты. Для удовлетворения этого требования следует построить и объединить с регулятором асимптотический наблюдатель. Система наблюдателя

(6)

Входным сигналом является вектор измерений , вектор системы (6) является оценкой вектора состояния системы, для которой строится наблюдатель. Коэффициенты вектора выбираются таким образом, чтобы обеспечивать устойчивость системы. Закон управления, в таком случае, будет иметь вид:

(7)

Замкнув наблюдатель (6) обратной связью (7), получим систему-регулятор:

.(8)

Решим, теперь, для каждой подсистемы задачу (5) при помощи пакета прикладных программ MATLAB. За параметры БПЛА примем значения (подробнее о параметрах в [1]):

.

Матрицы и подобраны, исходя из требований к динамике регулятора и его технических возможностей, следующими:

.

Для анализа синтезированных регуляторов в среде MATLAB & Simulink была построена нелинейная модель динамики квадрокоптера, изложенная в [1]. Полученная система управления сравнивалась с другой, LQR-регулятор которой был получен, основываясь на MIMO-системе (до декомпозиции). Для реализации тестовых режимов имитационного моделирования вектора желаемого состояния системы брались следующими:

.(9)

Остальные компоненты всегда вектора считались нулевыми.

В ходе имитационного моделирования было выяснено, угол вносит существенную нелинейность в динамическую модель. Данный фактор не может быть учтен регулятором, в основе которого лежит LQR-синтез и вызывает потерю устойчивости системы, если пытаться одновременно стабилизировать компоненты и . Поэтому, для достижения (9) нужно сначала стабилизировать положение

,(10)

а уже после этого вводить в вектор (10).

Если же в качестве желаемого положения задавались значения, непрерывно изменяющиеся с течением времени, образуя траекторию:

(11)

то оба регулятора успешно справлялись с поставленной задачей, приводя, квадрокоптер на окружность и успешно по ней перемещая (рис. 1). При таком режиме движения различия между траекториями крайне незначительны и могут быть оценены следующим выражением:

Рис. 1. Проекция траекторий моделей квадрокоптеров на плоскость

При желаемой траектории движения (11) и времени моделирования сумма имела значение 0.015.

На основании данного результата можно сделать вывод, что оба LQR-регулятора применимы к нелинейной модели квадрокоптера, при условии, что стабилизация желаемого значения угла рысканья вынесена в отдельный режим с наименьшим приоритетом. Регулятор, построенный применительно к системе (1) может быть использован как альтернатива обычному LQR-регулятору в вопросах об анализе робастности данного типа регуляторов, поскольку в данном случае предстоит работать с шестью передаточными функциями, вместо двадцати четырех.

Литература:

1. Luukkonen T., Modelling and control of quadcopter, 2011, P.2–6.
2. Веремей Е. И., Линейные системы с обратной связью: учебное пособие. 2013, с. 280–290,372–384.