Рассматривается самосопряженная обобщенная модель Фридрихса , которая ассоциирована гамильтонианом системы, состоящей из не более чем двух частиц. Обсуждается случай, когда существенный спектр оператора  может содержать лакуны. Получено достаточное условие конечности дискретного спектра оператора .

Ключевые слова: обобщенная модель Фридрихса, молекулярно-резонансной модель, блочно-операторная матрица, операторы рождения и уничтожения, лакуна существенного спектра.

В настоящей работе рассматривается гамильтониан  описывающий двухканальной молекулярно-резонансной модели [1–5]. В настоящей заметке найдено достаточное условие конечности дискретного спектра оператора . Следует отметит, что некоторые актуальные задачи анализа, математической физики и теории вероятностей сводятся к исследованию спектра рассматриваемой модели. В [1–5] изучены спектр и резонансы аналогичных гамильтонианов.

Через ,  и  обозначим множества всех комплексных, вещественных и натуральных чисел, соответственно. Пусть , , () -ограниченная область с евклидовой мерой в -мерном пространстве , а также ,  и .

Пусть  — двухканальное гильбертово пространства, состоящее из одномерного гильбертово пространства  (канал 1) и ядерного гильбертово пространства  — квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на  (канал 2). Элементы пространства  представляются как векторы , где  и . Для двух элементов , их скалярное произведение  в  естественно определяется через скалярные произведения

.

Рассмотрим гамильтониан , действующий в гильбертовом пространстве  как  блочно-операторная матрица

,                                                                                                            (1)

где матричные элементы , ,  определяются по формулам

,

.

Здесь  ;  — фиксированное вещественное число,  и  — вещественнозначные ограниченные функции на  и , соответственно,  — вещественнозначная кусочно-непрерывная и ограниченная функция на .             В этих предположениях на параметры оператор , действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным. При этом  сопряженный оператор к  и

.

Оператор  называется оператором уничтожения, а  называется оператором рождения. Оператор уничтожения снижает количество частиц в заданном состоянии на единицу, а оператор рождения увеличивает число частиц в данном состоянии на единицу, и является сопряженным к оператору уничтожения. Такие операторы имеют широкое применение в квантовой механике, в частности, при изучении квантовых гармонических осцилляторов и систем многих частиц [6].

Следует отметить, что обобщенная модель Фридрихса  также называется двухканальной молекулярно-резонансной моделью [1], которая ассоциирована гамильтонианом системы, состоящей из не более чем двух частиц. Например, если

,

то эти частицы взаимодействуют как с помощью нелокального потенциала, так и с помощью операторов рождения и уничтожения. В работе [2] показано существование и аналитичность собственных значений оператора типа (1) в случае .

Цель нашей работы — нахождение достаточного условия конечности дискретного спектра обобщенной модели Фридрихса , определенной по формуле (1). При этом результат полученной для  в работе [7] переносятся на . Заметим, что характер спектра, структура резольвенты, вид собственных векторов дискретного и непрерывного спектра, проблема существования и полноты волновых операторов полностью или частично изучались в литературе применительно к обычной модели Фридрихса  (см. [8–10]).

На протяжении всей работы под обозначениями ,  и  понимаются спектр, существенный спектр и абсолютно непрерывный спектр ограниченного самосопряженного оператора, соответственно.

Так как оператор  является компактным, а операторы , ,  являются одномерными, из теоремы Вейля о существенном спектре следует, что существенный спектр  оператора  совпадает со спектром оператора . При этом  состоит из замыкания области значений  функции , т. е.

.

Отметим, что существенный спектр оператора  может содержит множеству с изолированной точкой  такое, что  ( означает лебегово мера). Следовательно, мы не сможем утверждать, что существенный спектр оператора  является абсолютно непрерывным. Например, если , , ,  и функция  определена по формуле

,

то . Так как , то имеет место равенство .

Более того, если  является кусочно абсолютно непрерывная функция на  и  при всех , то имеем .

Далее, мы будем дополнительно предполагать, что оператор  является положительным. Положительный квадратный корень  оператора  имеет вид

,

где через  формально обозначено ядро оператора  и является квадратично-интегрируемой функцией на .

Пусть  — единичный оператор в ,  и . В исследованиях дискретного спектра оператора  основную роль играет компактный (симметризованный) оператор , , действующий в  как  блочно-операторная матрица

где матричные элементы ,  определяются по формулам

.

Основным результатом данной заметки является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть  и оператор-функция  при  и  сходится равномерно к некоторым операторам  и , соответственно. Тогда оператор  на интервале  может иметь лишь конечное число собственных значений.

Заметим, что в теореме 1 компактность оператора  является достаточным условием для конечности дискретного спектра оператора  на . Для обоснования этого факта рассмотрим следующий пример.

Пример. Пусть  и . Опишем свойства параметр-функций, входящих в (1) для этого случая:  — вещественнозначная непрерывная функция на , а функции  и  определяются равенствами  где  — вещественнозначная непрерывная функция на . Тогда  и оператор  имеет не более двух (не более одного) простых собственных значений, лежащих левее  (правее ), см. [4]. Далее, найдя вид оператора , после несложных вычислений получаем, что матричные элементы ,  семейства операторов , , имеют вид:

,

.

Ниже покажем, что равномерная сходимость семейства операторов ,  при  зависят от поведений функций  и  в малой окрестности точки . Очевидно, что если , то интеграл

                                                                                                                        (2)

расходится. Поэтому при , семейство операторов ,  не сходится равномерно ни к какому оператору при .

Пусть теперь . Допустим, что существуют константы  и  такие, что  и  при . Тогда интеграл (2) сходится. В этом случае семейство операторов ,  сходится равномерно к оператору  при . Аналогичные рассуждения верны при .

Благодарность. Работа поддержана программой фонда Эйнштейна при международном математическом обществе. Автор приносит благодарность Берлинской математической школе и институту Вейерштрасса по прикладному анализу и стохастики за приглашение, поддержку и гостеприимство.

Литература:

1.         A. K. Motovilov, W. Sandhas, Y. B. Belyaev. Perturbation of a lattice spectral band by a nearby resonance // J. Math. Phys., — 2001. — V. 42. — P. 2490–2506.

2.         С. Н. Лакаев, Ш. М. Латипов. О существовании и аналитичности собственных значений двухканальной молекулярно-резонансной модели // Теор. и матем. физика, — 2011. — Т. 169. — №. 3. — С. 341–351.

3.         M. I. Muminov, T. H. Rasulov. The Faddeev Equation and Essential Spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Func. Anal. Topology, — 2011. -V. 17. — no. 1. — P. 47–57.

4.         Т. Х. Расулов. Исследование существенного спектра одного матричного оператора // Теор. и матем. физика, — 2010, — Т. 164, — № 1, — С. 62–77.

5.         Т. Х. Расулов. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Известия вузов. Математика. — 2008, — № 12, С. 59–69.

6.         R. P. Feynman. Statistical mechanics: a set of lectures (2nd ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1998, p. 151.

7.         М. Э. Муминов. О выражение числа собственных значений модели Фридрихса // Матем. заметки, — 2007, — Т. 82, — № 1, С. 75–83.

8.         K. O. Friedrichs. Uber die Spectralzerlegung einee Integral operators // Math. Ann., — 1938, — V. 115, — no. 1, P. 249–272.

9.         К. Фридрихс. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М., 1969.

10.     K. O. Friedrichs. On the perturbation of continuous spectra // Comm. Pure Appl. Math., — 1948, — V. 1, — no. 4, — P. 361–406.