В данной статье представлено решение в напряжениях некоторых осесимметричных задач для упругого пространства с единственной сферической неоднородностью единичного радиуса (которая может представлять собой полость, упругое или жесткое включение) при одноосном растяжении на бесконечности.

Сферические неоднородности являются концентраторами напряжений (например, включения в композиционных материалах), определение напряженно-деформированного состояния вблизи которых имеет важное практическое значение. Часто такие задачи являются осесимметричными и обычно решаются при помощи уравнений Ламе [6–11]. В отличие от известных подходов к решению подобных задач [1] в данной работе использована постановка и метод решения, предложенный в работах [2–5]. Суть подхода состоит в следующем:

1.         Основными уравнениями являются два уравнения равновесия и два уравнения сплошности, записанные в напряжениях. В напряжениях записываются статические и кинематические граничные величины.

2.         Решение представлено в виде степенных рядов по косинусу угла между осью вращения и радиусом сферы. Коэффициенты этих рядов, зависящие от радиальной координаты сферической системы координат, вычисляются при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа Эйлера.

Преимущество даннного подхода заключается в том, что неизвестные данной системы совпадают с кинематическими и статическими краевыми величинами, а это, в свою очередь, упрощает удовлетворение краевых условий на сферической поверхности.

Постановка задачи для трех задач отличается только граничными условиями, для её формулировки воспользуемся соотношениями, приведенными в [2].

Тензор напряжений представлен в виде

                              (1)

вектор перемещений

Здесь  — цилиндрические координаты с ортами ;  — сферические координаты с ортами (см. рисунок 1). Ось  совпадает с осью вращения тела.

Рис. 1. Система координат

Таким образом, тензор напряжений хоть и записан в цилиндрических координатах, но независимыми аргументами являются координаты . Компоненты тензора напряжений (1) удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

(2)

Здесь

                                                        (3)

 и -физические постоянные Ламе.

Осевую составляющую перемещения находим при помощи следующих уравнений [3]:

(4)

Наличие в пространстве:

-          полости означает, что на границе  при , где  — радиус полости.

-          жесткого включения означает, что на границе  при , где  — радиус жесткого включения.

-          упругого включения означает, что в данном случае на границе упругого включения должны выполняться условия сопряжения: (индекс  соответствует матрице, а -включению)

                                                                                                      (5)

Считаем, что на бесконечности задано напряженное состояние

Искомые напряжения представим следующим образом:

                                                                                                                         (6)

где

Тогда компоненты тензора (6) можно представить в виде

а  в соответствии c (3)

Компоненты тензора  удовлетворяют системе (2). Соответствующие граничные условия при

                                                                                                              (7)

. (8)

Рассматриваемая задача симметрична относительно плоскости , и решение будем искать в виде рядов [4]

                               (9)

Далее систему (2) преобразуем путем введения новых величин по формулам

                    (10)

В итоге основная система уравнений примет вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа Эйлера:

,

,

,                                                                  (11)

где

Решение системы уравнений (11) при отсутствии массовых сил и конечном числе членов ряда (9) представляют собой конечные ряды по отрицательным и положительным степеням , неопределенный коэффициенты которых находятся из граничных условий. Кроме того, эти ряды должны тождественно удовлетворять условию

Краевые условия в терминах системы имеют вид:

для полости

,                                                                   (12)

для жесткого включения

       (13)

упругого включения

                                                            (14)

Во всех трех задачах оказалось, что в рядах (9) можно удержать не более трех членов ряда. Так как все искомые величины системы (11), как было сказано выше, представляют собой конечные ряды по отрицательным и положительным степеням , то неопределенные коэффициенты величин  с учетом вида граничных условий определяются из системы линейных алгебраических уравнений.

В случае, упругого включения, когда , решение системы (11) при граничных условиях (14) будет следующим:

,

Соответственно по обратным формулам к (15), а именно

                                           (15)

можем записать искомые напряжения и перемещения. Далее для краткости изложения ниже представлены графики напряжения  на границе упругого включения в зависимости от . Как видно из рис. 2, график при  совпадает с графиком , что соответствует случаю, когда шаровидная неоднородность является полостью. Кроме того, график при  совпадает с графиком , что соответствует случаю, когда шаровидная неоднородность является жестким включением. Точка пересечения графиков , соответствует примерно , полученные аналитические решения совпали с [1], но различие сред описывается одним параметром , что удобнее для численных расчетов. Корме того, из графика видно, что при  и  упругим включением можно пренебречь и рассматривать задачу как частный случай полости или жесткого включения соответственно.

Рис. 2: График напряжения

Предложенный подход к решению осесимметричных задач для сферы можно использовать и несферических неоднородностей в упругом пространстве.

Литература:

1.         Goodier J. N. Concentration of stress around spherical and cylindrical inclusions and flaws. J Appl Mech 1933;APM-55–7:39–44.

2.         Гасратова Н. А., Шамина В. А. Решение в напряжениях линейной осесимметричной задачи для сферы и упругого пространства со сферической полостью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2008. Вып. 2 С. 122–128.

3.         Шамина В. А. Постановка линейной осесимметричной задачи механики деформируемого тела в напряжениях // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2000. Вып.1 (№ 1). С. 145–148.

4.         Гасратова Н. А., Шамина В. А. Об одном подходе к решению осесимметричных задач линейной теории упругости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2007. Вып. 2. С. 101–107.

5.         Гасратова Н. А. Напряженно-деформируемое состояние упругого пространства со сферическим жестким включением. //Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер.10, 2009. С. 14–18,

6.         Hamid R. Sadraie, Steven L. Crouch, Sofia G. Mogilevskaya. A boundary spectral method for elastostatic problems with multiple spherical cavities and inclusions//Engineering Analysis with Boundary Elements 31 (2007) p.425–442.

7.         Noda Nao-Aki, Nozomu Ogasawara, Tadatoshi Matsuo. Asymmetric problem of a row of revolutional ellipsoidal cavities using singular integral equations.//International Journal of Solids and Structures 40 (2003) p. 1923–1941.

8.         Noda Nao-Aki, Yasuhiro Moriyama. Stress concentration of an ellipsoidal inclusion of revolution in a semi-infinite body under biaxial tension. //Archive of Applied Mechanics 74 (2004) p. 29–44.

9.         Edwards R. H. Stress concentrations around spherical inclusions and cavities.// J. Appl. Mech., 1951, 18, p. 19–30.

10.     Sadowsky M. A., Sternberg E. Stress concentration around a triaxial ellipsoidal cavity.// J. Appl. Mech., 1949, v. 16, p. 149–157.

11.     Олегин И. П. Осесимметричное напряженное состояние в трансверсально-изотропной упругой среде с двумя жесткими эллипсоидальными включениями//Сибирский журнал индустриальной математики. Январь–март, 2002. Том V, № 1(9).С.127–132.