В работе рассматривали и доказали однозначную разрешимость следующих задач:

В данной работе рассматриваем следующую задачу:

и находятся достаточные условия однозначной разрешимости и непрерывная зависимость решений от параметров, где произвольные точки,

1. Однозначная разрешимость решения задачи (1) — (4)

Для однозначной разрешимости задачи используется норма в пространстве :

Теорема 1. Пусть функции удовлетворяют условию

где

Если сушествует , удовлетворяющая неравенству

,

тогда задача (1) — (4) имеет единственное решение в пространстве .

Доказательство. Задача (1)–(4) эквивалентна интегральному уравнению

Правую часть уравнения обозначим через оператор :

Докажем, что . Имеем:

.

Теперь докажем, что оператор сжимающий имеем:

где

Доказательство теоремы следует из принципа сжимающих операторов.

2. Непрерывная зависимость решений от параметров

Теперь рассмотрим следующие задачи:

где параметр.

Теорема 2. Пусть функции удовлетворяют условию

где

Если существует , удовлетворяющая неравенству , то в пространстве единственное решение задачи непрерывно зависит от параметра.

Доказательство. При фиксированной однозначная разрешимость задачи доказана в теореме 1. Для доказательство теоремы 2 достаточно доказать непрерывную зависимость решений от параметра.

Задача эквивалентна интегрофункциональному уравнению:

Обозначим через , решение уравнения соотвествующее параметрам и т. е.:

Используя условия теоремы 2 из уравнения , имеем:

.

Используя норму , имеем:

Отсюда следует утверждение теоремы 2.

Теоремы 1, 2 верны для следующих задач:

Литература:

1. Shan S. M. On the exponential Growth of solutions to non-linear hyperbolic eQuations //Internat.J.Math. u Math.Sci.Vol. 12. №.3 (1989) 539–546.