Краевые задачи для невырождающихся нагруженных уравнений смешанного типа второго и третьего порядка, когда нагруженная часть содержит след или производную от искомой функции изучены в работах А. М. Нахушева [1], Н. Н. Ланина [2], В. А. Елеева [3], Б.Исломова и Д. М. Курьязова [4, 5].

Несколько нам известно, краевые задачи типа задачи Трикоми и Геллерстедта для вырождающегося нагруженного уравнения смешанного типа второго порядка исследовались сравнительно мало. Отметим работы В. М. Казиева [6], Б.Исломова и Ф.Джураева [7]. Исходя из этого, настоящая работа посвящена постановке и исследованию краевой задачи типа задачи Геллерстедта, для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа в виде

где - любые действительные числа, причем

, , , , .

Пусть — область, ограниченная отрезками , , , прямых , , , соответственно, при ; — характеристический треугольник, ограниченный отрезком оси и двумя характеристиками

уравнения , выходящими из точки , и пересекающимися в точке ; — характеристический треугольник, ограниченный отрезком оси и двумя характеристиками уравнения , выходящими из точек , и пересекающимися в точке ; — характеристический четырёхугольник, ограниченный характеристиками , и , уравнения , пересекающимися в точках , , и при , причем .

Введем следующие обозначения:

, ,

, ,

, ,

, ,

, причем

В области для уравнения исследуются аналоги задачи Геллерстедта.

Задачи. Найти функцию , обладающую следующими свойствами:

1) ;

2) является регулярным решением уравнения в областях

;

3) удовлетворяет краевым условиям

, , ,

, ,

, ;

4) на линии вырождения выполняется условия склеивания

,

равномерно при ,

где , , , — заданные функции, причем ,

,

,

Теорема. Если выполнены условия , , и то в области существует единственное решение задачи.

Литература:

1. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения. //«Дифференциальные уравнения». 1983. Т.19. № 1. С. 86–94.
2. Ланина И. Н. Краевая задача для одного нагруженного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка. //«Дифференциальные уравнения». 1981. Т. 17. № 1. С. 97–106.
3. Елеев В. А. О некоторых краевых задачах для смешенных нагруженных уравнений второго и третьего порядка. //«Дифференциальные уравнения». 1994. Т. 30. № 2. С. 230–237.
4. Исломов Б., Курьязов Д. М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения второго порядка // «Доклады АН РУз». 1996. № 1–2. С.3–6.
5. Исломов Б., Курьязов Д. М. Краевые задачи для смешанного нагруженного уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа. // «Узбекский математический журнал». 2000. № 2. С. 29–35.
6. Казиев В. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка. //«Дифференциальные уравнения». 1978. Т.14. № 1. С.181–184.
7. Исломов Б., Джураев Ф. Аналог задачи Трикоми для вырождающегося нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа. // «Узбекский математический журнал». 2011. № 2. С. 75–85.