Задача о дифракции волн в упругих телах, содержащих трещины, включения и другие дефекты, представляют значительный интерес в связи с проблемами различных областей техники. В то же время они сводятся к решению сложных краевых задач, к которым могут быть применены различные математические методы.

Рассмотрим следующую плоскую динамическую задачу теории упругости, моделирующую некоторые динамические явления, возникающие при неразрушающем ультразвуковом контроле сварных соединений.

Пусть в плоскости имеется эллиптическое отверстие, расположенное так, как указано на рис.1. Геометрические параметры эллипса обозначим .

Рис. 1. Выбор декартовой системы координат

Область, занимаемую эллипсом, обозначим :

.(1)

Дополнение до обозначим :

. (2)

Границу между указанными областями обозначим .

Предположим, что области и заняты упругими телами с различными, но с постоянными в соответствующих областях характеристиками. Векторы перемещений удовлетворяют уравнения Ляме:

(3)

Здесь — плотность, постоянных Ляме тела ; — аналогические характеристики тела . На границе должны выполняться следующие условия сопряжения:

.(4)

Здесь — вектор напряжения на пощади, перпендикулярной нормали к кривой , то есть к эллипсу:

, (5)

где — орты осей x и y, а — компоненты тензора напряжения в системе координат .

Введем потенциалы вектора смещений:

(6)

Здесь — орт оси z, такой, что x, y, z образуют правую систему координат. Отсюда следует:

(7)

Аналогичные формулы имеют место для .

Далее компонент тензора деформаций в системе координат имеем:

(8)

Аналогичные формулы имеют место для .

Для компонент тензора напряжений на основании закона Гука получаем:

(9)

Аналогичные соотношения имеют место для .

Если подставить (6) в (3), то для потенциалов получаем волновое уравнение:

(10)

Здесь величины

(11)

представляют собой скорости распространения продольной и поперечной волны в теле . Аналогичные уравнения и соотношения имеют место для . Задача состоит в определении функций , которые являются функциями от .

Предположим, что в направлении, указанном на рис. 1 красной стрелкой, движется некоторая заданная «падающая» волна. Она так же описывается некоторыми потенциалами и . Примем их в виде:

(12)

Здесь — заданная круговая частота, величины

(13)

являются волновыми числами падающей волны, и — некоторые комплексные числа. Выражения (12) описывают плоские монохроматические волны, распространяющиеся со скоростями и в направлении вектора , образующего угол осью .

Заметим, что функции и удовлетворяют волновым уравнениям

.

В этом легко убедиться простой подстановкой. Действительно,

Аналогично

Теперь будем разыскивать в форме

(14)

Подставляя (14) в уравнения (10) и аналогичные уравнения для , получаем, что функции удовлетворяют уравнениям Гельмгольца:

Здесь определяются с помощью (13), а кроме того .

Искомые функции должны удовлетворять определенным граничным условиям на, вытекающим из граничных условий (4).

Литература:

1. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений — Москва: Наука, 1978.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики — Москва: Наука, 1971.
3. Босс, В. Лекции по математике. Том 1. Анализ. Учебное пособие / В. Босс. — М.: Либроком, 2016. — 216 c.