Дано описание единичных шаров конечномерных нейтральных сильно гранево симметричных пространств малых размерностей.

Ключевые слова: грань, проектор, гранево симметричное пространство.

Пусть — нормированное пространство. Элементы называются ортогональными , если

.

Грань единичного шара называется выставленной по норме, если

для некоторого с .

Определение [1] . Выставленная по норме грань из называется симметричной гранью, если существует линейная изометрия из на с , множество всех неподвижных точек которой в точности совпадает с топологической прямой суммой замыкания линейной оболочки грани и ее ортогонального дополнения , т. е. совпадает с .

Элемент называется геометрическим трипотентом, если

1. 1) и для всех ;
2. 2) является симметричной гранью и для симметрии , соответствующей . Через обозначим множество всех геометрических трипотентов .

Определение [1]. Вещественное или комплексное нормированное пространство называется сильно гранево симметричным пространством (SFS-пространством), если

1) каждая выставленная по норме грань из симметрична;

2) для каждой симметричной грани из и каждого с и мы имеем , где — симметрия, соответствующая .

На SFS-пространстве по каждой симметричной грани определяются обобщенные Пирсовские проекторы следующим образом: , и проектируют на и соответственно.

Элементы называются ортогональными , если существует симметричная грань такая, что

и .

Сжимающий проектор на называется нейтральным , если для каждого равенство влечет . Пространство называется нейтральным , если для каждой симметричной граньи , проектор , соответствующей , является нейтральным.

Определение [2] . Сильно гранево симметричное пространство называется пространством ранга , если всякое семейство взаимно ортогональных геометрических трипотентов имеет мощность не более , и существует по крайней мере одно семейство взаимно ортогональных геометрических трипотентов содержащее ровно элементов (обозначение ).

Простыми и наглядными примерами SFS-пространств являются пространство , единичными шарами в котором являются прямоугольник или эллипс. Пространство является сильно гранево симметричным пространством, если его единичными шарами являются эллипсоид, цилиндр, двойной конус и двойная правильная четырехугольная пирамида.

Имеет место следующие теорема.

Теорема 1. Пусть — нейтральное сильно гранево симметричное пространство.

1) Если , то изометрический изоморфно пространству с нормой либо , либо , где

.

2) Если , то изометрический изоморфно пространству с нормой либо , либо , либо , где

.

Следующая теорема, дает описание единичных шаров четырехмерных нейтральных сильно гранево симметричных пространств.

Теорема 2. Пусть — четырехмерное нейтральное сильно гранево симметричное пространство.

1) Если , то изометрический изоморфно пространству с нормой ;

2) Если , то изометрический изоморфно пространству с нормой либо , либо ;

3) Если , то изометрический изоморфно пространству с нормой ;

4) Если , то изометрический изоморфно пространству с нормой , где

.

Литература:

1. Friedman Y. and Russo B. A geometric speсtral theorem // Quart. J. Math. Oxford. 1986. Vol. 37. 2. p. 263–277.
2. Friedman Y. and Russo B. Classification of atomic facially symmetric spaces // Canad. J. Math. –1993. — № 1 (45). — P. 33–87.