В этом работе дается описание единичных шаров конечномерных нейтральных сильно гранево симметричных пространств малых размерностей.

Исследования гранево симметричных пространств связаны с геометрической характеризацией предсопряженных пространств JBW*-троек, допускающих алгебраическую структуру, и восходят к работам Я.Фридмана и Б.Руссо [1]. Аксиомы, требуемые в этих характеризациях, являются естественными предположениями для пространств состояний физических систем. Такие пространства рассматриваются как геометрические модели для состояний квантовой механики. Естественно, что предсопряженные пространства для комплексных алгебр фон Неймана и более общих JBW*-троек являются нейтральными сильно гранево симметричными пространствами [2].

В работе [3] были даны геометрическая характеризация комплексных гильбертовых пространств и комплексных спин-факторов, а также дано описание JBW*-троек ранга 1 и 2, факторов Картана типа 1 и 4. М. Нейл и Б.Руссо в [4] нашли геометрические условия, при которых гранево симметричное пространство является изометричным предсопряженному пространству JBW*-тройки. Условие, при котором слабо гранево симметричное пространство является сильно гранево симметричным пространством, было найдено Н.Ядгоровым в [5].

Сначала приведем необходимые сведения о гранево симметричных пространствах.

Пусть — вещественное или комплексное нормированное пространство. Элементы называются ортогональными, обозначение , если

.

Грань единичного шара называется выставленной по норме, если для некоторого с . Элемент называется проективной единицей, если и для всех .

Выставленная по норме грань из называется симметричной гранью, если существует линейная изометрия из на такая что , и множество всех неподвижных точек которой в точности совпадает с топологической прямой суммой замыкания линейной оболочки грани и ее ортогонального дополнения , т. е. совпадает с .

Пространство называется слабо гранево симметричным пространством (WFS-пространством), если каждая выставленная по норме грань из симметрична (см. [1]).

Для каждой симметричной грани определяются сжимающие проекторы , на следующим образом: Во первых является проектором на собственное подпространство соответствующий собственному значению симметрия , Далее определим и как проекторы из на и соответственно, т. е. . Проекторы называются геометрическими Пирсовскими проекторами.

Проективная единица называется геометрическим трипотентом, если является симметричной гранью и для симметрии , соответствующей .

WFS-пространство называется сильно гранево симметричным пространством (SFS-пространством), если для каждой симметричной грани из и каждого с и мы имеем , где — симметрия, соответствующая (см. [1]).

Сжимающий проектор на называется нейтральным, если для каждого равенство влечет . Пространство называется нейтральным, если для каждой симметричной граньи , проектор , соответствующей , является нейтральным.

Определение [3] . Сильно гранево симметричное пространство называется пространством ранга , если всякое семейство взаимно ортогональных геометрических трипотентов имеет мощность не более , и существует по крайней мере одно семейство взаимно ортогональных геометрических трипотентов содержащее ровно элементов (обозначение ).

Имеет место следующие теорема.

Теорема 1. Пусть — вещественное нейтральное сильно гранево симметричное пространство.

1) Если , то изометрический изоморфно пространству с нормой либо , либо , где .

2) Если , то изометрический изоморфно пространству с нормой либо , либо , либо , где .

Следующая теорема, дает описание единичных шаров четырехмерных нейтральных сильно гранево симметричных пространств.

Теорема 2. Пусть — четырехмерное вещественное нейтральное сильно гранево симметричное пространство.

1) Если , то изометрический изоморфно пространству с нормой ;

2) Если , то изометрический изоморфно пространству с нормой либо , либо ;

3) Если , то изометрический изоморфно пространству с нормой ;

4) Если , то изометрический изоморфно пространству с нормой , где .

Геометрический трипотент называется максимальным , если

.

Обозначим

.

Имеет место следующая

Теорема 3. Пусть — сильно гранево симметричное пространство и , . Тогда следующие соотношения эквивалентны:

1) — максимальный геометрический трипотент;

2) — экстремальная точка ;

3) .

Литература:

1. Friedman Y., Russo B. Affine structure of facially symmetric spaces // Math. Proc. Camb. Philos. Soc. Vol. 106. 1989. № 1. P. 107–124.
2. Friedman Y., Russo B. Some affine geometric aspects of operator algebras // Pac. J. Math. Vol. 137. 1989. № 1. P. 123–144.
3. Friedman Y. and Russo B. Geometry of the dual ball of the spin factor // Proc. Lon. Math. Soc. 1992. Vol. 65. № 3. P. 142–174.
4. Neal M., Russo B. State space of JB ^* -triples // Math. Ann. 2004. Vol. 328. № 4. P. 585–624.
5. Ядгоров Н. Ж. Слабо и сильно гранево симметричные пространства // Докл. АН РУз. 1996. № 5. с. 6–8.
6. https://cyberleninka.ru/article/n/geometricheskaya-harakterizatsiya-veschestvennyh-jbw-faktorov