В этой работе приближенно решена смешанная задача для волнового уравнения методом разделения переменных, методом вариационных итераций и методом разложения Адомиана. Все эти методы обеспечивает последовательность функций, которая сходится к точному решению. Во всех случаях получены одинаковые результаты, но при этом метод разложения Адомиана являлся очень простим и удобным.

Ключевые слова: смешанная задача, волновое уравнение, метод разделения переменных, метод вариационных итераций, метод разложения Адомиана, начальное приближение, последовательность функций, точное решение.

Основной задачей строительной механики является разработка методов расчёта и получения данных для надёжного и экономичного проектирования зданий и сооружений. Надёжные методы расчётов таких зданий и сооружений позволяют возводить достаточно лёгкие и надёжные конструкции. Определённые математические модели и расчёты некоторых объектов строительной механики приводятся к решению линейных или нелинейных уравнений математической физики. В данной работе предложены применения современных более простых и точных методов решения таких уравнений [1–9].

Требуется точно решать следующую смешанную задачу для волнового уравнения методом разделения переменных (МРП), методом вариационных итераций (МВИ) и методом разложения Адомиана (МРА) [2, 7]:

, , (1)

, (2) . (3)

Для решения задачи примем обозначение . Из задачи (1)-(3) получим следующую задачу:

, (4)

, (5) . (6)

1) По идею МРП имеем:. Подставляя это выражение к уравнению (4) имеем две уравнения вида [7]

.

Отсюда получим спектральную задачу: , .

При имеем, и ,; а вторая .

Общее решение уравнение (4) и (5): ,

a из условия (6) имеем , k=2,3,4,…;

.

Точное решение задачи (4)-(6): .

2) Теперь уравнение (4) будем решать сначала по начальным условиям (6), а затем с граничными условиями (5) методом разложения Адомиана (МРА).

Для МРА имеем формулу приближенного решения задачи (4) и (6) [2]:

.

По идею МРА:

; ; ;

;…; и т. д.

Точное решение задачи (4) и (6): .

Для МРА имеем формулу приближенного решения задачи (4) и (5):

.

Здесь , (7)

По идею МРА:

;

; ;

;…; и т. д.

Общее решение уравнение (4), (5) и (7):

a из условия (6) имеем

и т.д. .

Точное решение задачи (4)-(6): .

3) Уравнение (4) будем решать сначала по начальным условиям (6), а затем с граничными условиями (5) методом вариационных итераций (МВИ).

Для решения задачи (4)-(6) МВИ примем обозначение

(8)

Из уравнения (4) получим следующую интегро-дифференциальное уравнение:

, (9)

По идею МВИ имеем формулу приближенного решения задачи (9):

Здесь — множитель Лагранжа, а для стационарного случая , и отсюда имеем . Тогда имеем приближенную формулу

Применяя МВИ, получим следующие результаты:

; ; и т. д.

Точное решение задачи (9):

a из обозначения (8) имеем

Для решения задачи (4) и (5) МВИ примем обозначение (10).

Из уравнения (4) получим следующую интегро-дифференциальное уравнение:

, (11)

По идею МВИ имеем формулу приближенного решения задачи (11):

Здесь также . Тогда имеем приближенную формулу

Применяя МВИ, получим следующие результаты:

; ; и т. д.

Точное решение задачи (11):

a из обозначения (10) имеем

a из условия (6) имеем

и т.д. .

Точное решение задачи (4)-(6): .

Точное решение задачи (1)-(3): .

Эти результаты проверены с помощью математического пакета Maple 17 [6].

Таким образом, МРП, МВИ и МРА дают одинаковые результаты, но МРА является более простим, точным и быстро приближающим к точному решению задачи. Поэтому в дальнейшем рекомендуется использование МРА при решении линейных и нелинейных задач математической физики [1–2, 8].

Литература:

1. Adomian, G. Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method. Boston, MA: Kluwer, 1994.
2. Wazwaz A. M. Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory. Higher Education Press, Berlin Heidelberg, 2009. — 761 p.
3. Абдурашидов А. А. Решения нелинейных волновых уравнений методом вариационных итераций // Международный научный журнал: Молодой ученый. — 2017. — № 6. — С. 4–8.
4. Абдурашидов А. А. Точное решение некоторых нелинейных уравнений Гарднера упрощенным методом укороченных разложений // Международный сетевой научно-практический журнал: Наука среди нас. Выпуск № 2(6), 2018. — С. 35–46.
5. Абдурашидов А. А., Касимова Ф. У., Рахимова Х. А. Приближенное решение волновых уравнений более высокого порядка методом вариационных итераций // Международный научный журнал: Развитие и актуальные вопросы современной науки, № 4 (4), 2017. — С. 4–9.
6. Алексеев Е. Р., Чеснокова О. В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad, Matlab, Maple (Самоучитель). — М.: НТ Пресс, 2006. — 496 с.
7. Бицадзе А. В., Калиниченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. Учеб. пособие для механико-математ. и физ. спец. вузов. — 2-е изд., доп. — М.: Наука, 1985. — 310 с.
8. Кудряшов Н. А. Методы нелинейной математической физики: Учебное пособие. 2-е изд. — Долгопрудный: Интеллект, 2010. — 368 с.
9. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 256 с.