Обобщенная асинхронная машина показана на рис. 1 [1] ÷ [3]:

r_s, l_s, l_ms – параметры статорной обмотки,

r_r, l_r, l_mr – параметры роторной обмотки,

|l_msr|=|l_mrs|=|l_m| – коэффициенты взаимоиндуктивности.

Рис.1. Обобщённая асинхронная машина

Основные уравнения математической модели АД в мгновенных значениях переменных:

1. Вектор потокосцепления статора АД

Вектор потокосцепления статора является центральным понятием при математическом  моделировании асинхронного двигателя, который в дальнейшем будут использован в замкнутых системах векторного управления.

Пространственный вектор потокосцепления статора:

,                                                                  (13)

где         , ,  - единичные пространственные векторы.

Уравнения (7) ÷ (9) представим по трем столбцам соответствующих индуктивностей:

Первое уравнение умножим на единичный пространственный вектор , второе – на , и последнее уравнение - на . С целью уменьшения громоздкости получаемых выражений вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем сумму в соответствии с формулой (13).

Мгновенные значения токов в АД:

,

где    .

где

Обозначим ; ; ; .

Окончательно, вектор потокосцепления статора[1] ÷ [3]:

                                                                         (14)

2. Вектор потокосцепления ротора АД

                                      ,                                (15)

Уравнения (16) ÷ (18) представим по трём столбцам соответствующих индуктивностей:

Первое уравнение умножим на , второе – на , третье – на . Вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем полную сумму в соответствии с формулой (15).

,

где                                                                                                                                            

Обозначим ; ; ; .

Окончательно, вектор потокосцепления ротора:

                                                                          (19)

3. Векторные уравнения АД в различных системах координат

Основные уравнения асинхронного двигателя в векторной форме имеют вид:

Сделаем существенное замечание по полученным обобщенным векторам. В уравнении (20) векторы , ,  записаны в неподвижной системе координат статора, но в некоторых задачах их необходимо привести к системе координат связанных с ротором. Рассмотрим схему преобразования одного из векторов, например,  из одной системы координат в другую. Поясним это преобразование на следующем рис.2.

Рис.2. Система координат S, R, K.

 – неподвижная система координат статора ;  – система координат, связанная с ротором,  – произвольная система координат,  - угол сдвига к и .

 – обобщенный вращающийся вектор напряжения статора.

 и  – этот же вращающийся вектор напряжения статора в системах координат ротора  и  соответственно.

Связь между векторами в разных системах координат:

Система уравнений (20) – (23) примет следующий вид:

                                             ,                                                 (24)

где , ,  – записаны в не подвижной системе координат статора .

                                                                                             (25)

где , ,  – обобщённые вектора роторных величин в роторной системе координат R.

                                              ,                                    (26)

где , , – векторы потокосцепления и ток статора в неподвижной системе координат S, а  – в роторной системе координат сдвинутой в неподвижной системе на угол .

                                                                                (27)

где , , – векторы потокосцепления и ток ротора в роторной системе координат R, а  – в неподвижной системе координат .

3.1 Рассмотрим приведение вышеприведённых уравнений к неподвижной системе координат статора

Уравнение (20) уже записано в статорной системе координат, поэтому показываем процесс приведения следующего уравнения. Для этого умножим обе части уравнение (21) на :

                                             .

В соответствии с вышерассмотренной схемой приведения векторов из одной системы координат в другую, получим:

                                              и .

Выражение  преобразуем к следующему виду:

Окончательно .

                                                                         (28)

В выражении  представим:  тогда

                                             .                                             (29)

В уравнении (27) умножим обе части на :

                                             ,

                                             .                                            (30)

Окончательно уравнения (24) ÷ (27) в статорной системе координат примет следующий вид:

3.2 Выполним приведение уравнений (24) ÷ (27) к роторной системе координат

Умножим обе части уравнение (24) на :

Уравнение (25) перепишем без изменений, т.к. оно уже записано в роторной системе координат:

Уравнение (26) умножим обе части на :

,

В уравнении (27) выразим , тогда

,

Окончательно в роторной системе координат уравнения (24) ÷ (27) имеют следующий вид:

3.3 Приведение уравнений (24) ÷ (27) к системе координат вращающейся с произвольной скоростью

Уравнение (24) умножим на  и сразу выразим :

,

,

.

Уравнение (25) умножим на :

,

              .

Уравнение (26) умножим на , тогда

, т.к. , то

                                    .

Уравнение (27) умножим на , тогда

                                    .

Для системы координат вращающейся с произвольной скоростью  система уравнений:

                                                                          (31)

                                                             (32)

                                                                                           (33)

                                                                                           (34)

                                                                                                     (35)

Зададим базовые величины (параметры):

; ; ,

где  - номинальные действующее фазное напряжение двигателя;  - номинальный фазный ток двигателя.

; ; ; ;.

Обозначим относительные величины (параметры):

;; ; ;  ; ,

где  – механическая скорость вращения вала;  - число пар полюсов.

; ;  ;; ; ;

В уравнении (31) сделаем следующие преобразования, обе части разделим на :

.

В квадратных скобках выделены соответствующие относительные величины.

Аналогичные преобразования произведем в (32) уравнении:

,

Для уравнения (33), умножим обе части уравнения на :

,

Аналогично в уравнении (34), умножим обе части на :

,

В уравнении (35) обе части разделим на :

,

Система уравнения асинхронного двигателя с коротко замкнутым. ротором:

                                                   (36)

                                                                        (37)

                                                                                                  (38)

                                                                                                  (39)

Определим электромагнитный момент через векторное произведение [1, c. 238]:

Выразим из уравнения (39) :

В уравнение (38) подставим :

Обозначим , , , тогда

.

В уравнение (36) исключим  и :

Из уравнения (37) выразим :

.

Подставим в предыдущее уравнение:

Обозначим , , где ,

В итоге получилось два уравнения:

                                      (40)

                                                                                     (41)

В уравнении (40) разделим обе части на  и обозначим :

Рассмотрим процессы в неподвижной системе координат, , :

                                      (42)

                                                                                    (43)

Вещественную ось обозначим , мнимую через - . Пространственные вектора в этом случае разложим по осям:

; ; .

Подставим эти значения в уравнения (42) ÷ (43) и, приравняв отдельно вещественные и мнимые части, получим:

С учетом электромагнитных моментов [1, c. 238] система уравнений в операторной форме  примет вид:

                          (44)

                            (45)

                                                                            (46)

                                                                            (47)

                                                                                               (48)

                                                                   (49)

Структурная схема для уравнения(44):

Структурная схема для уравнения(45):

Структурная схема для уравнения(46):

Структурная схема для уравнения(47):

Структурная схема для уравнения (48):

Структурная схема для уравнения (49):

Для моделирования выберем АКЗ со следующими паспортными данными и параметрами: , , , , , , ,  , , , , , .

Значения безразмерных коэффициентов в уравнениях, рассчитанные по выражениям, приведенным выше:

Модель АКЗ, построенная по уравнениям (44) ÷ (49), представленная на рис. 3.

На вход модели в момент времени подаются напряжения , , (), тем самым реализуя прямой пуск.

Осциллоскопы измеряют относительные значения электромагнитного момента и скорости. Результаты моделирования представлены на рис. 4. Они показывают, что при прямом пуске вначале наблюдается значительные колебания момента. Такие же колебания наблюдаются в токе и скорости. Кроме того они показывают, что при приложении момента нагрузки наблюдается уменьшение скорости.

Рисунок 3. Модель АКЗ в неподвижной системе координат с переменными

Рисунок 4. Результаты моделирования, относительные значения электромагнитного момента и скорости

1.    Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов

переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. Екатеринбург: УРО РАН, 2000. 654 с.

2.    Герман-Галкин С.Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем Matlab 6.0: Учебное пособие. – Спб.: Корона принт. 2001. – 320с., ил.

3.    Ковач К.П., Рац И. Переходные процессы в машинах переменного тока/Пер. с нем. М.Л.: Госэнергоиздат, 1963. 735 с.: ил.