Блочно-операторная матрица — это матрица элементы которой являются линейными операторами в банаховым или гильбертовом пространстве. Пусть 
–две гильбертовы пространства и 
. Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор 
, действующий в 
всегда представляется как 
блочно-операторная матрица
(1)
с линейными ограниченными операторами 
.
Пусть 
— множество комплексных чисел и 
– пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве 
. Следующие операторы
называются дополнениями Шура соответствующий блочно-операторной матрицы 
и они играют важную роль в спектральном анализе этой матрицы. Видно, что дополнение Шура являются операторно-значные регулярные функции, определенные вне спектров операторов 
и 
, соответственно. Дополнение Шура сначала использовано в теории матриц [1].
Термин «дополнение Шура» было введено в работе [2].
Через 
обозначим 
-мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Пусть 
– одномерное комплексное пространство, 
– гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на 
и 
– гильбертово пространство квадратично- интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на 
.
В гильбертовом пространстве 
рассмотрим следующую блочно- операторную матрицу
(1)
с матричными элементами
, 
, 
,
Здесь 
— фиксированное вещественное число, 
– вещественнозначные непрерывные функции на 
, а 
– вещественнозначная непрерывная функция на .
В этих предположениях на параметры оператор 
, действующий в гильбертовом пространстве 
по формуле (1), является ограниченным и самосопряженным. При этом 
сопряженный оператор к 
и
Наряду с оператором 
в гильбертовом пространстве 
рассмотрим еще блочно- операторную матрицу размера 
:
Далее, пространство 
представим в виде ортогональной суммы гильбертовых пространств и 
. Тогда второе дополнение Шура 
блочно-операторной матрицы 
, соответствующее разложению 
, определяется следующим образом
После простых вычислений имеем, что
где
Имеют место следующие утверждение.
Утверждение 1. Число 
является собственным значением оператора 
тогда и только тогда, когда оператор 
имеет собственное значение, равное нулю и их кратности совпадают.
Утверждение 2. Пусть . Тогда 
. Из утверждений 1 и 2 вытекают следующие
Следствие 1. Пусть . Тогда 
.
Следствие 2. Пусть 
. Если 
(соот. 
) при некотором 
, то существует число 
такое, что 
(соот. 
).
Литература:
- Schur. Uber potenzreihen, die im innern des einheitskreises beschr¨ankt sint. J. Reine Angew. ¨ Math., 147 (1917), 205–232.
- E. V. Haynsworth. Determination of the inertia of a partitioned Hermitian matrix. Linear Algebra Appl., 1:1 (1968), 73–81. 2
