Осцилляторным интегральным оператором называется оператор следующего вида:

(1)

где и вещественно значная функция и — большой вещественный параметр.

В работе Л. Хёрмандера [4] доказано, что если смешенный Гессиан фазовой функции ф, т. е. , то для оператора (1) справедлива следующая оценка:

(2)

Однако, если смешенный Гессиан обращается в нуль в начале координат, то оценка (2) перестает быть справедливой.

В 1997 году в работе [5] И. М. Стейн и Д. Х. Фонг рассмотрели оценку норму оператора (1) с вырожденной фазой в случае . В этом случае по фазовой функции определяется так называемый приведённый многогранник Ньютона (МН), т. е. МН функции: , предполагая .

Через d обозначается расстояние Ньютона, т. е координата пересечения биссектрисы положительного октанта с границей . Тогда если ф (х, у) аналитична в нуле и носитель амплитуды, а находится в достаточно малой окрестности нуля, то справедлива оценка:

.

Более того, если , то существует ненулевая константа такая, что .

В дальнейшем, ради удобства введем обозначение: если существуют ненулевые константы такие, что при для нормы оператора справедливы неравенства , то мы будем писать, что:

(3)

Таким образом, если и носитель амплитуды находится в достаточно малой окрестности нуля, то справедливо соотношение (3).

Основным результатом нашей работы является следующая теорема:

Теорема. Если и — носитель амплитуды находится в достаточно малой окрестности начала координат, то для L² нормы осцилляторных интегральных операторов справедлива следующая оценка:

.

Более, того если , то при справедливо соотношение:

.

При доказательстве основной теоремы используются некоторые вспомогательные утверждения.

метод и Обобщенная лемма Шура.

Как известно, если Т некоторый ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, то справедливо равенство .

Доказательство основной теоремы основывается на этом методе.

Лемма 1. является интегральным оператором с ядром:

Лемма 1 доказывается непосредственным вычислением ядро оператора.

Лемма 2. Пусть М любое фиксированное число и тогда справедливо неравенство:

где Лебегова мера множества А.

Литература:

1. Арнольд В. И., Варченко А. Н. Гусейн-заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Ч. II. M.: Наука, 1984. 335 с.
2. Варченко А. Н. Многогранники Ньютона и оценки осциллирующих интегралов. Функц. анал. и его прил. 10(3): (1976). с. 13–38.
3. Рисс Ф. Б., Сёкефальви-Надь «Лекции по функциональному анализу». «МИР» Москва, 1979. 528 с.
4. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Ч. 4. ИнтегральныеоператорыФурье. М.: Мир, 1988. 446 с.
5. Phong D. H., Stein E. M. The Newton polyhedron and oscillatory integral operators. Acta Math. 179(1) (1997), С. 105–152.