Функция 
из 
называется экстремальной функцией для функционала погрешности 
, если выполняется равенство
.
Пространство 
является гильбертовым и скалярное произведение в этом пространстве дается формулой 
По теореме Рисса любой линейно непрерывный функционал 
в гильбертовом пространстве представляется в виде скалярного произведения
(1)
для любой функции из 
. Здесь 
— функция из пространства 
, определяется единственным образом по функционалу 
и является его экстремальной функцией. Интегрируя по частям выражения в правой части равенства (1) и используя периодичность функций 
и 
, получаем равенство
Таким образом, экстремальная функция 
является обобщенным решением уравнения
(2)
с граничными условиями
Для экстремальной функции имеет место следующая
Теорема 1.1. Явное выражение для экстремальной функции 
функционала погрешности 
определяется формулой
(3)
где 
является полиномом Бернулли, 
– константа.
Доказательство. Используем формулы преобразования Фурье, данный в [1], cвертка двух функций определяется формулой
Применяя к обеим частям равенства (2) преобразование Фурье и используя известные формулы (см. [17])
получаем
(4)
В силу (4) правая часть равенства (4) равна нулю в начале координат. Следовательно, обе части уравнения (4) делятся на 
.
Функция 
определяется из (4) до выражения
Но, как известно, периодическое решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (2), является константой, тогда все члены, кроме 
до последнего выражения, должны быть отброшены. Таким образом, из (4) имеем
Отсюда, с учетом
и 
имеем
Применяя к обеим частям последнего равенства обратное преобразование Фурье, получаем
Отсюда, используя определение полинома Бернулли 
, получим (3)
Литература:
- Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. -М.: Наука, 1974.
-
Шадиметов Х. М. Дискретный аналог дифференциального оператора
и его построение// Вопросы вычислительной и прикладной математики: Сб. науч. тр. Ташкент, ИК АН Узбекистана, -вып. 79, 1985. –С. 22–35. arXiv:1001.0556 [NA.math].
- Шадиметов Х. М. Оптимальные решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в пространствах Соболева. Дис. докт. физ.-мат. наук. -Ташкент, 2002. -218 с.
