Введение

В работе рассматривается система уравнений вида:

(1)

Частные случаи системы дифференциальных уравнений (1) рассматривались в статьях [1] — [3], в которых были получены условия, которым должна удовлетворять правая часть системы уравнений указанного вида, обладающей богатым набором законов сохранения.

В настоящей работе определены системы уравнений (1), которые обладают законами сохранения нулевого и первого порядков.

 §1. Закон сохранения нулевого порядка

В этом параграфе рассматривается система уравнений (1), которая обладает законом сохранения нулевого порядка:

(2)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Система уравнений (1), которая имеет закон сохранения нулевого порядка (3), точечными преобразованиями приводится к системе вида:

(3)

Доказательство.

Запишем закон сохранения нулевого порядка (2) в виде:

Перепишем последнее с учетом системы уравнений (1), а именно, заменим производные и .

Приравнивая при независимых переменных и получим следующую систему уравнений:

(4)

Рассмотрим случаи:

1.               
2.               
3.                .

Пусть выполнен случай 1, то есть .

Тогда из первых двух уравнений системы (4), имеем:

.

Далее функцию запишем в следующем виде:

или , где .

Сделаем точечную замену:

(5)

Тогда система уравнений (1) согласно (2) примет вид:

(6)

где .

Отметим, что система (6) имеет закон сохранения нулевого порядка (2), имеющий вид: .

Рассмотрим второй случай, когда .

Если , то из (4) следует, что имеет вид:

.

Функцию запишем в виде:

или , где

и тогда точечная замена вида:

(7)

исходную систему уравнений (1) приводит к следующей системе уравнений:

(8)

где .

При этом закон сохранения нулевого порядка (2) имеет вид:

.

Рассмотрим последний случай, когда .

тогда из первых двух уравнений системы (4) следует, что:

.

Теперь закон сохранения нулевого порядка (3) перепишем следующим образом:

Далее сделаем точечную замену:

(9)

Тогда последнее примет вид:

,

где .

Таким образом, полагая исходную систему уравнений (1) запишем в виде:

(10)

Система уравнений (6) является частным случаем системы уравнений (11),если положить . Далее, если в уравнениях (8) сделать замену , то получим систему (6).

Итак, система (1), имеющая закон сохранения нулевого порядка, точечными преобразованиями приводится к системе (11).Теорема доказана.

 §2. Закон сохранения первого порядка

В этом параграфе рассматривается система уравнений вида (10).

В системе уравнений (11) сделаем замену:

,

тогда она запишется в виде:

(11)

Далее перейдем от переменных , к переменным .

Тогда закон сохранения первого порядка можно представить в следующем виде:

,(12)

Справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Система уравнений (11) имеет закон сохранения первого порядка (12), если справедливы следующие соотношения:

, (13)

,(14)

+

,(15)

, (16)

,(17)

, (18)

. (19)

Проведем анализ уравнений (14) — (19).

Из трех последних уравнений получаем, что имеет вид:

(20)

Теперь перепишем уравнения (14) — (16):

, (21)

, (22)

, (23)

Условие совместности:

(24)

согласно (20),(22) и (23) примет вид:

. (25)

Рассмотрим случай, когда функция , определяющая функцию по формуле (20), равна нулю. Имеет место следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть . Тогда система уравнений (11) имеет закон сохранения первого порядка (13), где вычисляются по формулам:

, (26)

, (27)

. (28)

Здесь

, (29)

,(30)

, (31)

, (32)

. (33)

Лемма 3. Пусть . Тогда система уравнений (11) имеет закон сохранения первого порядка (13), где вычисляются по формулам:

, (34)

, (35)

а φ произвольная функция.

При функции и произвольные функции, а функции определены по формулам:

, (36)

а при , эти функции определены по формулам:

(37)

Здесь произвольная функция.

И наконец, рассмотрим случай, когда Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть , тогда система уравнений (11) имеет закон сохранения первого порядка, где функции имеют вид:

, (38)

,(39)

. (40)

Здесь

, (41)

, (42)

,(43)

, (44)

,(45)

,(46)

При этом выполнены следующие соотношения:

(47)

(48)

, (49)

(50)

,(51)

где r = , S = , χ = . (52)

Литература:

1. Михайлов А. В., Шабат А. Б. Условия интегрируемости систем двух уравнений вида .I //ТМФ. 1985. Т. 62, № 2. С. 163–185.
2. Михайлов А. В., Шабат А. Б. Условия интегрируемости систем двух уравнений вида .II / / ТМФ. 1986. Т. 66, № 1. С. 47–65.
3. Шабат А. Б., Ямилов Р. И. О полном списке интегрируемых систем уравнений вида: , . / / Препринт. Уфа: БФАН СССР. 1985. С. 28.