Рассмотрим в области 
, с границей 
и 
— цилиндр, с боковой гранью 
.
Ставится задача найти решение следующих уравнений [1], [2]:
(1)
(2)
(3)
(4)
здесь (1) — уравнение движения, (2) — закон импульса, (3), (4) — уравнения состояния: (3) — вязкоупругая среда Максвелла, (4) — уравнение Кельвина-Фойгта; B — матрица коэффициентов Ламе, симметричная, положительно определенная, С — матрица, состоящая из коэффициентов вязкости, симметричная, положительно определенная, 
— диагональная матрица, 
— вектор скоростей, * — означает транспонирование, 
— вектор напряжений, 
— вектор деформаций; опорный оператор R определяется следующим образом [1]:
(5)
Матрицы В, С, — перестановочны.
К соотношениям (1)-(4) нужно добавить соотношения перемещение-деформации: 
. Вектор перемещения u и скорости v связаны соотношением 
.
После несложных преобразований приходим к уравнениям:
(6)
для среды Максвелла,
(7)
для среды Кельвина-Фойгта.
Решение задачи (1)-(3), (6) будем искать в цилиндре 
. При этом
(8)
(9)
Предположим, что на боковой поверхности цилиндра Q искомое решение удовлетворяет одному из приведенных ниже однородных краевых условий;
(10)
Начальные данные (8), (9) и краевые условия (10) будем считать согласованными. При этом задачу (1)-(3), (6) назовем задачей (I), а задачу (1), (2), (4), (7) — задачей (II).
Как известно, если 
, то справедлива оценка
(11)
В соответствии с методом фиктивных областей [3], [4], дополним исходную область D некоторой областью 
до составной области 
с границей 
.
В составной области 
рассмотрим задачу:
(12)
где 
— малый параметр и
На границе 
ставятся условия согласования:
(13)
где 
n — вектор нормали к границе 
, знаки «+» или «-» означают стремление функции изнутри и извне границы 
. Параметр P принимает значение 1 или -1.
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Верна оценка
(14)
Здесь 
и 
соответствуют решению задачи (12), (13) и отвечают значению параметра 
и 
.
Доказательство. Рассмотрим следующие ряды: 
в области Q, 
в области 
. Ряды 
, 
являются абсолютно сходящимися при достаточно малых 
.
В самом деле, для определения функций 
, 
получаем
(15)
Решения (15) 
имеем из теории неоднородных задач [5]
(16)
Далее получим сходимость рядов ,
Учитывая (11), (16), получим:
(17)
где 
.
Если 
, то ряд абсолютно сходится в Q, а ряд абсолютно сходится в норме 
.
Теорема 2. Если 
, то справедлива следующая оценка:
(18)
где 
и 
— решения задачи (12), (13) при и , 
— решение задачи (I).
Доказательство. На основании теоремы 1 имеем
(19)
где 
, 
соответствуют параметру .
Соответственно на основании теоремы 1 имеем
(20)
где 
, 
соответствуют параметру 
.
Очевидно, что 
— решение задачи I.
Введем обозначения
тогда для функции 
получим задачу
Отсюда получаем 
или 
.
Введем функцию 
где 
удовлетворяет задаче
Отсюда получаем 
и, следовательно, 
.
Далее, определим 
имеем 
. Продолжая аналогичные рассуждения, получим
(21)
Учитывая (21), подставляя в (19), (20), получим в Q:
(22)
Используя (17) и разложение (22), получаем при
Для задачи II в соответствии с методом фиктивных областей построим вспомогательную задачу
(23)
Дополним начальными и краевыми условиями из (12) и условия сопряжения (13).
Для задачи II верна
Теорема 3. Для верна оценка
.(24)
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.
Кроме того, справедлива
Теорема 4. Если , то верна следующая оценка
(25)
где — решение задачи II, и — решения задачи (23) при и .
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.
Запись исходных задач в терминах оператора 
и сопряженного 
, обусловлены возможностью построения консервативных разностных схем, допускающих реализацию с помощью схем расщепления.
Литература:
- Букенов М. М., Кузнецов Ю. А. Об одной спектральной задаче теории упругости. // ВЦ СО АНСССР, Препринт, Новосибирск, 1981г. — 13 с.
- Букенов М. М. Постановка динамической задачи линейной вязкоупругости в скоростях напряжениях. // Сиб. Журнал вычислительной математики РАН. Сиб. Отд. — Новосибирск, 2005. — т.8, № 4. — с. 289–295.
- Коновалов А. Н. Об одном варианте метода фиктивных областей. // В кн. Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. — Новосибирск, 1975, с. 191–199.
- Букенов М. М. Метод фиктивных областей для среды Максвелла. // Численные методы и пакеты программ для решений уравнений математической физики. — Новосибирск, 1985 — т. 4, № 2. — с. 117–126.
- Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — Москва: Наука. — 1967. — 736 с.
