В работе представлена модель композитного баллона давления изготавливаемого непрерывной жгутовой намоткой в виде системы дифференциальных уравнений, удобная для численного анализа, позволяющая получить конструкцию, образованную равнонапряженными нитями, уложенными вдоль геодезических линий на поверхности оправки.
Ключевые слова: композитный баллон давления, жгутовая намотка, геодезическая траектория, оптимальное армирование.
Рассмотрим композитный баллон давления в виде цилиндрической оболочки с днищами, выполненный методом намотки. Примем, что нить на днище совпадает с геодезической линией на поверхности (положение, которое нить стремится принять на гладкой поверхности при натяжении).
Под проектированием баллона давления будем понимать определение формы образующей баллона и схемы армирования баллона нитями. При этом оптимальным проектом является такой, который позволяет получить композитную конструкцию, образованную равнонапряженными нитями.
Как правило, при проектировании баллона давления в качестве исходных используют следующие данные (рис. 1):
— радиус оболочки на экваторе (
);
— радиус полюсного отверстия (
).
Для геодезической намотки угол намотки на экваторе определяется по формуле:
(1)
Рис. 1. — Профиль образующей днища: 
— радиус оболочки на экваторе; 
— максимальный радиус фланца; 
— радиус полюсного отверстия
Принято [1, с.356; 2, с.54] искомую оптимальную форму образующей днища составлять из двух участков: участка от a до и участка от до . При этом на первом участке форма днища определяется уравнением
(2)
а на втором участке — уравнением
(3)
где 
— угол намотки.
Уравнения (2) и (3) обеспечивают связь между углом намотки и формой образующей днища баллона для получения геодезической схемы армирования и равнонапряженности нитей в композитной конструкции.
Очевидным способом получения расчетной схемы на основе уравнений (2) и (3) является составление системы дифференциальных уравнений относительно 
и 
. Однако, возникает трудность с заданием начальных условий для интегрирования такой системы, поскольку в начальной точке — точке — значение производной равно бесконечности (рис. 1).
Получим систему дифференциальных уравнений используя натуральное уравнение плоской кривой [3, с.141]. Пусть 
— плоская кривая, зависящая от натурального параметра 
. Тогда можно записать:
Условимся отсчитывать 
в положительном направлении, связанном с данной кривой. Произвольной остается только начальная точка отсчета.
Обозначим через 
угол, образованный единичным касательным вектором [3]
c положительным направлением оси 
.
Тогда справедливы следующие равенства:
(4)
Найдем выражения для 
и 
, входящих в (1) и (2), с учетом последних равенств:
Окончательно получим:
(5)
(6)
Подставляя (4) и (5) в (1) и выражая 
, получим:
(7)
Объединяя уравнения (4) и (7), получим следующую систему дифференциальных уравнений для определения профиля днища и закона изменения угла намотки при 
:
(8)
В этой системе дифференциальных уравнений начальный угол 
нельзя выбирать произвольно, так как является функцией 
. Система (8) справедлива при 
.
Аналогичным образом может быть получена система дифференциальных уравнений при 
. Она имеет следующий вид:
(9)
Решения систем (8) и (9) должны удовлетворять условиям сопряжения участков.
Результаты расчета профилей днищ представлены на рисунке 2, на котором профиль (1) соответствует радиусу на экваторе — 150мм, радиусу полюсного отверстия — 20мм, радиусу фланца (b1) — 24,5; профиль (2) соответствует радиусу на экваторе — 130, радиусу полюсного отверстия — 30, радиусу фланца (b2) — 36,75; профиль (3) соответствует радиусу на экваторе — 100, радиусу полюсного отверстия — 40, радиусу фланца (b3) — 49.
Рис. 2. Профили днищ
На рисунках 3, 4 и 5 представлены соответствующие трехмерные модели оболочек и их схемы армирования.
Рис. 3. Трехмерная модель оправки и схема армирования для профиля (1)
Рис. 4. Трехмерная модель оправки и схема армирования для профиля (2)
Рис. 5. Трехмерная модель оправки и схема армирования для профиля (3)
Литература:
1. Композиционные материалы: Справочник. — М.: Машиностроение, 1990.
2. В. В. Васильев, И. Ф. Образцов, В. А. Бунаков — Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов методом намотки. — М., «Машиностроение», 1977.
3. П. К. Рашевский — Курс дифференциальной геометрии. Изд. 4-е, исправленное. — М.: Едиториал УРСС, 2003.
