Работа посвящена распространению результатов исследований сильных средних отклонений операторов Фурье на случай, когда в качестве агрегатов приближения выступают операторы Валле Пуссена.

1. В теории рядов Фурье хорошо известно, что  почти всюду на  выполняется соотношение  где  — частные суммы Фурье функции ,  при .

Харди и Литтлвуд поставили вопрос: будет ли  выполняться более общее соотношение

                                                                (1)

Если соотношение (1) выполнено, то говорят, что ряд Фурье функции  является сильно суммируемым с показателем .

Исследованию сформулированого вопроса для сумм и операторов Фурье на классах -интегралов периодических функций и классах -производных локально интегрируемых функций были посвящены работы [1, 2].

Мы обобщим эти исследования на случай классов -интегралов локально интегрируемых функций когда аппаратом аппроксимации выступают операторы Валле Пуссена.

Сначала приведем определение классов Степанца (см. [3]).

Обозначим через  множество непрерывных при  функций , которые удовлетворяют условия: 1)    возрастает на  2)  выпукла вниз на  и  3) производная  имеет ограниченную вариацию на  Подмножество функций  для которых  обозначают  Множество функций  которые удовлетворяют лишь условию 2) обозначают

Для пары  определим функцию   где  и  — четное и нечетное продолжения функций   соответственно.

Пусть  — множество функций  которые определены на действительной оси и имеют конечную норму  ,  Тогда через  будем обозначать подмножество непрерывных функций  которые для всех  можно представить в виде следующего равенства:

                                                           (2)

где , интеграл понимаем как границу по симметричным расширяющимся промежуткам, , т. е., ,

                     (3)

Если , , то преобразование  суммируемо на действительной оси (см., например, [4]).

Следуя А. И. Степанцу [5], функцию  в изображении (2) называют производной функции  и обозначают .

Для приближения функций из классов  будем использовать операторы Валле Пуссена

      (4)

где , а  преобразование вида (3) функции  в которой

                                 (5)

Такие операторы рассматривались А. И. Степанцом в работах [3, 4, 6], где показано, что при определенных условиях  принадлежат к множеству  целых функций экспоненциального типа , а в периодическом случае, при натуральных  и  операторы  совпадают с суммами Валле Пуссена.

Далее, следуя [4], из множества  выделим подмножества  и . Каждой функции   сопоставим пару функций  и

Тогда:     где   — некоторые постоянные, которые, возможно, зависят от функции .

Аппроксимативные свойства операторов Валле Пуссена в нашей работе характеризуются функционалами

в которых  — некоторая неотрицательная непрерывная при всех  функция.

Положим: ; ;  и .

В принятых обозначениях имеют место утверждения.

Теорема 1.Пусть ,  и такие,что найдутся константы  и  для которых выполняется условие

                                                                   (6)

Числа  удовлетворяют условию:   Пусть, далее,  — произвольное положительное число и функция  такова, что произведение  не возрастает

Тогда, если  то для произвольных  выполняется неравенство

       (7)

в котором  — величина, не зависящая от   и  в качестве величины  может выступать любая из функций  

Теорема 2.Пусть   числа  и   выбраны так, что ,  а функция  такова, что произведение  где  не возрастает

Тогда, если  то для произвольных  выполняется неравенство

        (8)

в котором  — величина не зависящая от   и

Замечание. В случае     и  (т. е., для классов ) теоремы 1 и 2 получены А. И. Степанцом и Н. Л. Пачулиа [2]. Заметим, что в аналоге теоремы 2 рассматривается лишь случай  Для сумм Фурье в периодическом случае аналогичная задача была решена А. И. Степанцом.

2. Доказательство теорем начнем с получения некоторых вспомогательных утверждений. Пусть  Величину  рассмотрим в двух частных случаях, в зависимости от скорости следования к нулю пары функций  .

Лемма 1.Пусть   числа  и   выбраны так, что , постоянная .Тогда  в каждой точке

                                                        (9)

где   — функция из множества  для которой   

Лемма 2.Пусть   и выполнено условие (6), числа  такие, что   Функции ,

Тогда, если  то  и действительных чисел

                                     (10)

где    в роли функции  может выступать любая из функций ,   — функция из  для которой  , и                                                                (11)

3. Пусть  и

                                       (12)

Следующим шагом в доказательстве теорем 1 и 2 будет такое утверждение.

Лемма 3.Пусть   и выполнено условие (6), числа  выбираются так, что , .

Тогда, если  то для любых   

                                                                                    (13)

Если же   числа  и   избраны так, что , постоянная , то    и

                                                       (14)

В соотношениях (13) и (14)  — величина, которая равномерно ограничена по   и .

Доказательство. Из неравенства Гельдера следует, что величина  не убывает по параметру , поэтому неравенства (13) и (14) достаточно доказать лишь при  Сначала докажем неравенство (13).

Используя равенство (10) и неравенство Минковского, получим

                                                 (15)

Поскольку функция  не возрастает, то

               (16)

Перейдем к получению оценки величины  Отметим, что

Применяя неравенство Минковского, получим

                       (17)

Далее,

Поскольку, как было установлено в работе [8, с. 239] (соотношение (14.21)),

                                                                         (18)

то

                                                                                             (19)

Для оценки интеграла  применим неравенство Хаусдорфа-Юнга:

С этой целью положим

Тогда

Поскольку , то

                               (20)

А потому

Итак,

                                                                                               (21)

Сравнивая соотношения (12) и (15) — (21) приходим к оценке (13).

Перейдем к доказательству неравенства (14).

Используя соотношение (9) из леммы 1 и неравенство Минковского, согласно равенства (12), получим

                                               (22)

Поскольку функция  не возрастает, то

                                                                                              (23)

Далее мы воспользуемся соотношением (5.5.4) из работы [7, с. 236], при доказательстве которого периодичность функции  и включение  не использовались, а потому

                                        (24)

Принимая во внимание соотношения (24), имеем

                                                     (25)

Остается установить аналогичную оценку и для интеграла

При каждых фиксированных  и  положим

Применяя неравенство Хаусдорфа-Юнга получим

                                        (26)

При нахождении этого неравенства мы воспользовались также условием  Из соотношений (22) — (23) и (25) — (26) следует неравенство (14).

Лемма 4 окончательно доказана.

4. Перейдем непосредственно к доказательству теоремы 1.

Пусть    Тогда

Выберем числа   исходя из условия

Согласно лемме 3, имеем

Поэтому

        (27)

Поскольку , то, на основании оценки (18),  Следовательно

                                                                       (28)

Функция  не возрастает и . Соответственно,

Поэтому, опираясь на соотношение (28), получаем искомую оценку:

                               (29)

Теорема 1 доказана.

5. Доказательство теоремы 2.

Пусть   тогда, согласно лемме 1,

                                                  (30)

где  и такие, что

В монографии [7, с. 391] для натуральных значений  получена оценка

                                (31)

которая остается верной и в нашем случае , поскольку при ее доказательстве не использовался тот факт, что .

Обозначим:  Согласно условию, числа  не возрастают. Поэтому, учитывая (31), получим

Применяя эту оценку к неравенству (30), находим

Таким образом, теорема 2 окончательно доказана.

Литература:

1.         Степанец А. И. Скорость сходимости группы отклонений на множествах -интегралов // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 12. — С. 1673–1693.

2.         Степанец А. И., Пачулиа Н. Л. Сильные средние уклонения операторов Фурье // Укр. мат. журн. — 1990. — 42, № 9. — С. 1225–1231.

3.         Stepanets A. I., Wang Kunyang, Zhang Xirong. Approximation of locally integrable function on the real line // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 11. — С. 1549–1561.

4.         Степанец А. И. Приближение в пространствах локально интегрируемых функций // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 5. — С. 597–625.

5.         Степанец А. И. Приближение интегралов периодических функций суммами Фурье. — Киев, 1996. — 70 с. — (Препринт / АН Украины. Ин-т математики; 96.11).

6.         Степанец А. И. Приближение операторами Фурье функций, заданных на действительной оси // Укр. мат. журн. — 1988. — 40, № 2. — С. 198–209.

7.         Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Т.1. — 426 с.

8.         Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Т.2. — 468 с.