Нахождение условий гарантированного разрушения оболочечных конструкций является актуальной научно-технической проблемой при проектировании взрывозащитных инженерных сооружений, при определении технических условий специальных складов боеприпасов и др. Важно определить форму и величину заряда взрывчатого вещества (ВВ), при взрыве которого на некотором расстоянии от оболочечной конструкции, гарантированно произойдет её разрушение. Под разрушением понимаем потерю несущей способности оболочки вследствие появления в ней трещин, сколов, разделений на фрагменты.

Целью настоящей статьи является анализ подходов, примененных для решения вышеописанной задачи о гарантированном разрушении, а именно: энергетического метода [1], предложенного академиком Т. М. Саламахиным, и метода Б. Г. Галеркина [2].

Физическая модель (основные допущения)

Рассмотрим задачу о нахождении необходимой массы С заряда ВВ для гарантированного разрушения открытой цилиндрической оболочки (рисунок 1).

Рис. 1. Схема расположения заряда ВВ над оболочкой при взрыве

Оболочка, с размером плана 2а×2b, выполнена из упругого материала (серый чугун марки СЧ 12–28), имеет постоянную толщину h, радиус кривизны R и защемлена по всему своему контуру в идеальных (недеформируемых) опорах. Оболочка принимается тонкой и пологой, т. е.  [3] и  [8] соответственно. Материал оболочки предполагается однородным и изотропным. Рассматривается упругий режим деформирования вплоть до ее разрушения. Принимаются основные классические гипотезы теории тонких оболочек [3]. Прогибы оболочки предполагаются малыми, т. е. не превышающими 1/5 ее толщины. На расстоянии h_Zот срединного слоя оболочки, над центром симметрии плана, располагается сосредоточенный сферический заряд ВВ радиуса r₀, тип и энергетические характеристики которого определяются обобщенным параметром А₀.

В качестве ВВ рассматривается литой тротил с плотностью ρ₀ = 1630 кг/м³ и А₀ = 400 м/с [4]. Рассматривается ближняя область действия взрыва  [4], для которой давлением окружающей среды можно пренебречь по сравнению с давлением продуктов взрыва. Вследствие кратковременности действия взрывной нагрузки (время её действия не превышает 2×10–⁴ с) начальными смещениями точек оболочки, за время действия нагрузки, можно пренебречь [7].

Математическая модель и решение задачи

Введем прямоугольную декартову систему координат Oxyz с началом в центре симметрии плана оболочки (рисунок 1). Обозначим δ — стрелу подъема оболочки над планом, , О₁ — центр кривизны, 2θ — угол, определяющий длину дуги цилиндрической оболочки радиуса R.

Геометрические и механические параметры оболочки: a = 1 м, b = 0.75 м, R = 2 м, h = 4·10–² м, δ = 0.146м, плотность чугуна ρ = 7.2·10³ кг/м³, коэффициент Пуассона μ = 0.25, модуль Юнга Е = 1.2·10¹¹ Па, цилиндрическая жесткость D = Eh³/ [12(1-µ²)], коэффициент однородности на гарантированное разрушение К_0* = 1.4, коэффициент динамичности µ₃ = 1.3, предел прочности на одноосное растяжение σ ^р = 1.2·10⁸ Па и на сжатие σ ^с = 5·10⁸ Па.

Расстояния h_Z = {0.2, 0.3, 0.4, 0.5} м. Граничные условия соответствуют способу закрепления оболочки — отсутствию по всему контуру прогибов и углов поперечных поворотов сечений:

, , при x = ± a,                                                                            (1)

, , при y = ± b.                                                                            (2)

Координатные функции, удовлетворяющие граничным условиям (1) и (2), возьмем в следующем виде

, .                                      (3)

При относительных расстояниях  удельный импульс i, действующий на оболочку, может быть вычислен, согласно исследованиям Т. М. Саламахина [4, 7], по формуле

,                                                                                                                (4)

где r — расстояние от точки М до центра заряда ВВ, φ — угол падения (угол образованный скоростью потока продуктов взрыва с нормалью к поверхности преграды).

Перейдем к решению поставленной задачи энергетическим методом Т. М. Саламахина. Перемещения точек срединной поверхности оболочки с учетом (3), имеют вид [1]:

u (x, y) = 0, v (x, y) = 0, w_E (x, y) = c₁·f₁(x, y) + c₂·f₂(x, y).

Отметим, что константа c₁, входящая в выражение для w_E (x, y), предполагается неварьируемой.

Кинетическая энергия Э (приобретенная всей оболочкой за время действия взрывной нагрузки), исходя из (4), и работа ее деформирования П соответственно равны [1]:

,                                       (5)

      (6)

.

Применив принцип минимума потенциальной энергии для (6)

получим, что c₂= — 9.326·c₁. Для определения c₁ воспользуемся критерием разрушения, предложенным П. П. Баландиным [9], в котором учтем динамический характер действующей нагрузки. Согласно введенным основным гипотезам теории тонких оболочек и динамике внешнего воздействия, этот критерий приводит к соотношению

,                               (7)

где, согласно принятым допущениям, для срединной поверхности имеем [1]:

, , .

Равенство в (7) соответствует пересечению поверхности, определяемой левой частью неравенства (7), плоскостью, определяемой правой частью того же неравенства. Это достигается при c₁ = 3220. Линии уровня, определяемые критерием разрушения (7), для срединного слоя при найденном c₁ показаны на рисунке 2А.

Рис. 2. Линии уровня

Для определения зависимости массы заряда ВВ С от высоты его (заряда) расположения h_Z воспользуемся, согласно энергетическому методу Т. М. Саламахина [4–7], соотношением

Э = П,

где Э и П определяются выражениями (5) и (6) соответственно. Результаты вычислений проведены в конце статьи в таблице 1 (масса ВВ обозначается как C_E).

Исходя из того, что c₁ = 3220 найдем максимальный прогиб w_Еmax оболочки. Отношение максимального прогиба к толщине рассматриваемой оболочки будет равно . Данная величина не превышает 1/5 толщины оболочки h, что соответствует введенной гипотезе малых прогибов.

Перейдем к решению задачи методом Б. Г. Галеркина. Согласно принятым допущениям, деформирование оболочки происходит уже после действия взрывной (импульсной) нагрузки, в течение свободных колебаний, которые описываются уравнением

,                                                                                                     (8)

где w_G = w_G (x, y, t) — прогиб произвольной точки M(x, y). Начальные условия для уравнения (8) имеют вид:

w_G (x, y, 0) = 0,                                                                                                              (9)

.                                                                                                                   (10)

Начальные скорости точек оболочки V = i/ρh, с учетом (4), выразятся в виде

.                                                                (11)

Функцию прогибов w_G (x, y, t), удовлетворяющую граничным условиям (1) и (2), будем искать в виде

w_G (x, y, t) = c₁(t)·f₁(x, y) + c₂(t)·f₂(x, y).                                                                         (12)

Начальное условие (9) выполняется, если с₁(0) = 0 и с₂(0) = 0. Обозначим  и . Зафиксируем высоту h_Z = 0.2 м. Найдем из (12) выражение  и подставим его в начальное условие (10). Получим невязку F, минимизируя которую аналогично работе [2], придем к соотношениям

, .

Таким образом, полностью находим начальные условия для уравнения (8). Подставляя (12) в (8), так же получаем невязку N(x, y, t). Помножив N(x, y, t) на координатные функции f₁(x, y), f₂(x, y) и проинтегрировав полученные выражение по площади плана оболочки [10], придем к системе уравнений [2], разрешая которые найдем выражения для с₁(t) и с₂(t). Первое амплитудное колебание происходит в момент времени t_* = 0.000613 c.

Напряжения, используемые в критерии разрушения (7), имеют вид

, , .

Равенство в (7) соответствует пересечению поверхности, определяемой левой частью неравенства (7), плоскостью, определяемой правой частью того же неравенства. Это достигается при массе заряда ВВ С = 0.428 кг. Линии уровня, определяемые критерием разрушения (7), для срединного слоя при найденных С и t_* показаны на рисунке 2Б.

Сравнение скорости V(x, y) из (11), при массе С = 0.428 кг, со скоростью  приведено на рисунке 3. Отношение максимального прогиба к толщине оболочки, в момент времени t_*, будет равно . Данная величина не превышает 1/5, что соответствует введенной гипотезе малых прогибов.

Массы ВВ, времена t_*, отношения  соответствующие высотам h_Z = {0.3, 0.4, 0.5} м находим аналогичным способом. Результаты данных вычислений приведены в таблице 1.

Рис. 3. Сравнение скоростей V(x, y) и

Введем также вспомогательную величину η, характеризующую отклонения между найденными разными способами массами зарядов ВВ

 %.

Результаты вычислений для η приведены в таблице 1.

Таблица 1

Сравнение методов решения задачи

Таким образом, на основании полученных результатов, отраженных в таблице 1, можно говорить о том, что энергетический метод академика Т. М. Саламахина дает завышенные значения по массе заряда ВВ, необходимого для гарантированного разрушения оболочечной конструкции, по сравнению с решением, основанным на методе Б. Г. Галеркина. Это, по мнению авторов, происходит из-за не учета инерционной составляющей в энергетическом методе. Также видно, что разница между массами зарядов ВВ, полученных разными методами для одной высоты h_Z, уменьшается с увеличением расстояния от заряда ВВ до оболочечной конструкции.

Литература:

1.                  Володин Г. Т., Новиков А. С. Разрушение открытой цилиндрической оболочки взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Вып. 1. — 2013. — С. 75–84.

2.                  Володин Г. Т., Новиков А. С. Метод Б. Г. Галеркина в задачах гарантированного разрушения оболочечных конструкций взрывом // Materiály IX mezinárodní védecko-praktická conference «Aplikované védecké novinky — 2013». Díl 12. Praha: Publishing House «Education and Science» s.r.o, 2013. — p. 28–35.

3.                  Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: ГСИСП, 1962. — 432 с.

4.                  Саламахин Т. М. Физические основы механического действия взрыва и методы определения взрывных нагрузок. М.: ВИА, 1974. — 255 с.

5.                  Володин Г. Т. Действие взрыва зарядов конденсированных ВВ в газовой и жидкой средах. Часть 2. Взрывостойкость и гарантированное разрушение элементов конструкций. Тула: Левша, 2005. — 160 с.

6.                  Володин Г. Т. Прямой вариационный метод исследования взрывостойкости и гарантированного разрушения балочных конструкций взрывной нагрузкой // Вестник Тульского государственного университета. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Вып. 1. — 2009. — С. 49–54.

7.                  Саламахин Т. М. Разрушение взрывом элементов конструкций. М.: ВИА, 1961. — 275 с.

8.                  Колкунов Н. В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1963. — 278 с.

9.                  Гольденблат И. И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. — 191 с.

10.              Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. — 347 с.