В статье производится оценка сходимости результатов прямого динамического расчета на гармоническую нагрузку, выполненного аналитическим методом и методом конечных элементов с использованием программных комплексов.

Ключевые слова: метод конечных элементов, динамический расчет, гармонические колебания, расчетная схема, верификация.

Исходные данные для расчета: статически определимая система с 2-мя степенями свободы, l = 2 м, E = 3310000 т/м ² , I = 312500 см ⁴ , m ₁ = 3 т, m ₂ = 1 т. Гармоническая нагрузка — P ₀ = 10 т. Резонансная частота  = ɷ _2. Коэффициент неупругого сопротивления у=0,1. Расчетная схема приведена на рисунке 1.

Рис. 1. Расчетная схема

Сравнение результатов аналитического расчета будет проводиться с расчетами методом конечных элементов, выполненными в программных комплексах «SCAD ++» версия 21.1.1 и версия 21.9.7.

Для построения расчетных схем использован тип конечного элемента 2 — стержень плоской рамы. Количество узлов в расчетной схеме 21, количество элементов — 20. Для решения задачи используется расчет на динамические воздействия. В качестве воздействия применены гармонические колебания. Количество форм учитываемых колебаний — 2.

Решим задачу аналитическим методом. По формуле Мора с использованием правила Верещагина определим элементы матрицы податливости от действия единичных сил инерции. Перемножая полученные эпюры моментов от единичных усилий получим элементы матрицы податливости А:

Упростив выражения приведем значения перемещений и масс к безразмерным величинам и соответственно.

Вводим матрицу С=АМ, где А — матрица податливости, М — диагональная матрица масс и получаем выражение [2]:

(3)

где υ и  — собственные вектора и собственные числа матрицы С.

Составим характеристическое (частотное) уравнение:

Развернув определитель и решив квадратное уравнение относительно  находим корни характеристического уравнения (собственные числа матрицы С):

Получим частоты собственных колебаний [1]:

Далее вычисляем компоненты собственных векторов и , определяющих форму собственных колебаний [2]. Найденный спектр частот и форм собственных колебаний приведен на рисунке 2.

Рис. 2. Отображение форм собственных колебаний (а — 1 форма собственных колебаний, б — 2 форма собственных колебаний)

На рисунке 3 приведены отображения форм колебаний по 1 и 2 формам колебаний, полученные в программных комплексах.

Рис. 3. Отображение форм колебаний, полученных в ПК «SCAD++»

В таблице 1 приведено сравнение результатов расчета собственных частот колебаний, полученных аналитическим расчетом и методом МКЭ.

Таблица 1

Сравнение результатов расчета собственных частот колебаний

Определим внутренние усилия с учетом сил сопротивления при установившихся вынужденных колебаниях системы с резонансной частотой θ= ɷ ₂ . Сумма данных составляющих по первой и второй формам колебаний дает силы S' ₁ , S' ₂ и S ₁ '', S ₂ ''(рисунок 4, а) от которых на рисунке 4, б изображены эпюры изгибающих моментов М' и М» [2].

Рис. 4. Внутренние усилия системы (а — численные значения сил S' и S'', б — эпюры изгибающих моментов М' и М»)

Произведём сравнение внутренних усилий, полученных методом конечных элементов с усилиями полученными аналитическим методом. На рисунках 5, 6 приведены значения динамических сил S' и S'' и моментов М' и М'', полученных в ПК «SCAD++» версии 21.1.1, на рисунках 7 и 8 то же для ПК «SCAD++» версии 21.9.7.

Рис. 5. Значения динамических сил, полученных в ПК «SCAD++» версия 21.1.1 (а — S'; б — S'')

Рис. 6. Значения изгибающих моментов, полученных в ПК «SCAD++» версия 21.1.1; (а — М'; б — М''')

Рис. 7. Значения динамических сил, полученных в ПК «SCAD++» версия 21.9.7 (а — S'; б — S'')

Рис. 8. Значения изгибающих моментов, полученных в ПК «SCAD++» версия 21.9.7; (а — М'; б — М''')

В таблице 2 приведено сравнение результатов расчета внутренних усилий, полученных аналитическим расчетом и методом конечных элементов.

Таблица 2

Сравнение результатов расчета внутренних усилий

Полученные аналитическим методом значения и значения, полученные методом конечных элементов в ПК «SCAD++» версии 21.9.7 различаются менее чем на 1 %, при этом значения мнимой составляющей отображаются в противофазе относительно аналитического расчета. Полученные значения в ПК «SCAD++» версии 21.1.1 существенно отличаются от результатов, полученных аналитическим методом не только по величине полученных усилий, но и по характеру их распределения. Как видно из таблицы 2, доминирующее значение имеют составляющие отвечающие действительной составляющей внутренних усилий, в то время как аналитическим расчетом подтверждено подавляющее влияние сил, отвечающих мнимой составляющей.

Амплитудные значения перемещений узлов с учетом сил сопротивления при установившихся вынужденных колебаниях системы с резонансной частотой = ɷ ₂ получим исходя из зависимостей [3]:

Сумма составляющих по первой и второй формам колебаний дает амплитуды А' ₁ , А' ₂ и А ₁ '', А ₂ ''(рисунок 9).

Рис. 9. Суммарные значения амплитуд А' и А''

Произведём сравнение амплитуд колебаний, полученных методом конечных элементов с амплитудами, полученными аналитическим методом. На рисунках 10 и 11 приведены значения амплитуд колебаний А' и А'', полученных в ПК «SCAD++» версий 21.1.1 и 21.9.7 соответственно.

Рис. 10. Значения амплитуд колебаний, полученных в ПК «SCAD++» версии 21.1.1; (а — амплитуд колебаний А'; б — амплитуд колебаний А'')

Рис. 11. Значения амплитуд колебаний, полученных в ПК «SCAD++» версии 21.9.7; (а — амплитуд колебаний А'; б — амплитуд колебаний А'')

В таблице 3 приведено сравнение результатов расчета амплитуд колебаний, полученных аналитическим методом и методом МКЭ.

Таблица 3

Сравнение результатов расчета амплитуд колебаний

Полученные аналитическим методом значения и значения, полученные методом конечных элементов в ПК «SCAD++» версии 21.9.7 различаются менее чем на 1 %. Полученные значения методом конечных элементов в ПК «SCAD++» версии 21.1.1 значительно отличаются от результатов, полученных аналитическим методом. Анализируя данные, приведенные на рисунке 10(б), можно сделать вывод, что общий вид деформации стержня не совпадает с отображением формы колебаний на рисунке 3.

В настоящее время большинство программных комплексов позволяют выполнить прямой динамический расчет сложных конструктивных систем и облегчить работу инженеру — конструктору. Проведенное сравнение результатов аналитического расчета с результатами расчетов в программных комплексах подтверждают необходимость дополнительной проверки результатов задач, решаемых в программных комплексах. В связи с тем, что разработчики программных комплексов регулярно совершенствуют свои продукты на основе обратной связи от инженерного сообщества, достоверность результатов сильно зависит не только от наименования программного комплекса в котором производится прямой динамический расчет, но и от его версии. Необходимость самостоятельной проверки результатов может быть дополнительно обоснована тем, что в верификационных тестах, разработчики приводят необходимый, но все-таки не полный отчет по всем имеющимся в программных комплексах функциям.

Литература:

1. Справочник по динамике сооружений. Под ред. Б. Г. Коренева, И. М. Рабиновича. М., Стройиздат, 1972 г. — 511 с.
2. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. А. Ф. Смирнов, А. В. Александров, Б. Я. Лащеников, Н. Н. Шапошников, Стройиздат, 1984 г. — 414 стр.
3. Инструкция по расчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на динамические нагрузки ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко, Стройиздат, 1970 г.