В процессе работы короткозамкнутого асинхронного двигателя (АД) скольжение может изменяться. При скольжении, не равном нулю, в большей или меньшей степени возникает эффект вытеснения тока в стержнях ротора. В электротехнике расчет этого эффекта осуществляют путём введения на переменном токе понятия "эффективное сечение". Это понятие предполагает, что эквивалентное активное сопротивление стержней увеличивается с повышением частоты тока ротора. Однако увеличение эквивалентного активного сопротивления  это не единственное проявление эффекта вытеснения тока. Важнее то обстоятельство, что фаза вектора плотности тока перераспределяется по сечению стержней в зависимости от частоты. Поэтому динамические математические модели АД, не учитывающие перераспределение фазы вектора плотности тока, могут в расчётах привести (и приводят) к значительным ошибкам. Кроме того, такие модели, положенные в основу построения систем управления, наблюдателей, идентификаторов состояния и параметров, ограничивают диапазон регулирования скорости асинхронных электроприводов.

В данной статье поставлена задача более детального математического описания эффекта вытеснения тока в стержнях ротора короткозамкнутого (АД)  с учётом перераспределения вектора плотности тока по сечению стержней ротора. Решение поставленной задачи достигнуто на основе тензорного анализа электромагнитных процессов в рамках теории электрических цепей с сосредоточенными параметрами.

Пусть активное сопротивление каждого стержня, измеренное на постоянном токе (по закону Ома), равно , а число стержней в роторе  . Тогда эквивалентное сопротивление всех стержней, включенных параллельно в короткозамкнутом роторе, на постоянном токе будет равно .

Мысленно разделим сечение каждого стержня на большое число () тонких проводников. Пусть (для упрощения анализа) активное сопротивление всех тонких проводников будет одинаковым. Тогда активное сопротивление каждого тонкого проводника на постоянном токе будет равно . При достаточно большом значении эффектом вытеснения тока в тонких проводниках можно пренебречь. Но, что важно, в тонких проводниках не только сила тока, но и фаза вектора плотности тока будут различаться.

Электромагнитные процесы в роторе могут быть представлены теперь (с учётом разбиения стержней ротора на тонкие проводники) следующей системой высокого порядка однотипных уравнений:

(1)

где  общее число тонких проводников во всех стержнях ротора,  потокосцепления тонких проводников;  сила тока в тонких проводниках. В (1) сопротивление тонких проводников, равное , может зависеть от материала, температуры, площади сечения (от ), но, главное, это сопротивление не будет зависеть от частоты, а будет определяться, как обычно, на постоянном токе (по закону Ома).

Для тензорного анализа электромагнитных процессов введем в -мерном дифференциально-геометрическом многообразии систему локальных базисных векторов:

(2)

где  в общем случае произвольные координаты. Теперь умножим первое уравнение в (1) на , второе уравнение умножим на и т.д. Последнее уравнение в (1) умножим на . В результате получим систему из уравнений:

(3)

Заметим, что в системе (3) и рассматриваются уже как функции точки (подобно векторам напряжённости и индукции электрического поля, векторам напряжённости и индукции магнитного поля в электродинамике), а не просто как переменные состояния, то есть вводятся функциональные зависимости переменных от координат:

(4)

(5)

Далее все левые части в (3) сложим:

(6)

Сумму

(7)

в (6) с точки зрения тензорного анализа можно представить абсолютным вектором (векторным полем):

(8)

Но, вместе с тем, нельзя то же самое сделать с суммой

(9)

и, тем самым, ввести в уравнение (6) (по аналогии с (8)) абсолютный вектор потокосцепления

(10)

потому что векторы (2) локального базиса нельзя в общем случае внести под знак производных, так как эти векторы зависят от координат, а координаты в общем случае зависят от времени, то есть, вообще говоря,

(11)

В подобных случаях в тензорном анализе вводят понятие ковариантного дифференцирования. Рассмотрим это понятие в рамках данного подхода.

Продифференцируем (10) по обычным правилам дифференцирования производных от произведения функций:

(12)

Поскольку в (12) по индексу осуществляется суммирование, то этот индекс во втором слагаемом правой части можно (это удобно для дальнейших преобразований) заменить на любой другой, например, на :

(13)

В (13) появились дифференциалы локалных базисных векторов (). Эти дифференциалы, как известно из обычного анализа, можно выразить через частные производные:

(14)

Вместе с тем, согласно тензорному анализу, частные производные могут быть представлены в следующем виде:

(15)

где  коэффициенты связности (то есть трёхиндексные символы Кристоффеля второго рода).

Подставим (15) в (14). Тогда

(16)

Теперь подставим (16) в (13):

(17)

Кроме того, разделим левую и правую части (17) на дифференциал времени:

(18)

Из (18) следует

(19)

Подставим (19) и (8) в (6). В результате получим следующее уравнение:

(20)

Чтобы избавиться от производных от координатам, и, тем самым, упростить полученное уравнение, произведём суммирование в (20) по индексу . Тогда уравнение примет следующий более простой вид

(21)

где

(22)

По смыслу всего изложенного слагаемые

(23)

и

(24)

в (20) и (21), соответственно, являются математическим выражением физического процесса вытеснения тока в стержнях ротора. Это значит, что нелинейный электромагнитный процесс вытеснения тока математически может быть представлен в многомерном пространстве с кривизной (в дифференциально-геометрическом многообразии  по терминологии тензорного анализа).

Если все и, соответственно, все равны нулю, то это значит, что частота тока ротора АД стремиться к нулю, вытеснение тока в стержнях ротора отсутствует, а уравнения (20) и (21) принимают один и тот же вид:

(25)

Равенство нулю всех и означает, что -мерное пространство является плоским (то есть без кривизны). Поэтому локальные базисные векторы в плоском пространстве не зависят от координат , как и векторы и . Это значит, что в пространстве измерений можно ввести подпространство двух измерений и ортогональную двухмерную систему координат. Тогда уравнение (25) превращается в обычную систему, состоящую из двух уравнений:

(26)

где  компоненты вектора потокосцепления ротора в ортогональной системе координат ;  компоненты вектора тока ротора в той же системе координат;  сопротивление статора. Таким образом, в данном подходе принцип соответствия соблюдается: уравнения более общей теории преобразуются в уравнения частной теории, если допущения частной теории применить к уравнениям более общей теории.

Векторы и в уравнении (21) тоже можно спроецировать на двухмерное ортогональное подпространство. В этом случае каждый из этих векторов будет иметь по две компоненты, а будет содержать четыре компоненты. Система уравнений для ротора примет в этом случае следующий вид:

(27)

где  компоненты вектора потокосцепления ротора в ортогональной системе координат;  компоненты вектора тока ротора в той же системе координат;  компоненты, значения которых зависят в основном от эффективного сечения стержней и от температуры ротора;  компоненты, численные значения которых определяются изменением фазы вектора плотности тока ротора. Значения всех четырех компонент можно принимать в первом приближении линейными функциями скольжения.

Заключение.

В настоящее время основной математической моделью, применяемой на практике, является модель Парка. Однако эта модель справедлива только при постоянных параметрах двигателя. Причём в этой модели не учитывается эффект вытеснения тока в стержнях ротора. Существуют другие математические модели, описывающие электромагнитные процессы в АД, в том числе и скин-эффект, но они, как правило, недостаточно обоснованы с теоретической точки зрения, а являются чисто инженерными решениями.

В данной статье предложена структура уравнений (27) электромагнитных процессов в роторе АД, обоснованная строго математически. Эта модель была неоднократно проверена методом математического моделирования и экспериментально, в том числе в системе векторного управления асинхронным электроприводом. Тип двигателя в экспериментальной установке  4А112МА6У3; мощность  3 кВт; параметры двигателя: активное сопротивление статора  2,16 Ом; активное сопротивление ротора  1,75 Ом; индуктивность статора  0,186 Гн; индуктивность ротора  0,189 Гн; индуктивность намагничивающего контура  0,18 Гн; момент инерции ротора  0,017 кгм²; число пар полюсов  3.