В статье показан пример расчета показателей надежности работы системы методом наименьших квадратов средствами VBA.

Ключевые слова: безотказная работа, доверительный интервал, испытания, метод наименьших квадратов, нормальный закон распределения, число отказов.

При нормальном законе распределения отказов сначала необходимо определить оценки математического ожидания и среднеквадратичного отклонения, а затем рассчитать вероятность отказа, частоту и интенсивность отказов [1].

Для определения математического ожидания и среднеквадратичного отклонения для каждого разряда статистического ряда подсчитывают q _i с использованием выражения и по таблице квантилей нормального закона распределения определяют значения квантилей [2, 3].

Листинг фрагмента программы расчета показателей при нормальном законе распределения:

'Вычислим 11 строку таблицы(13)=============================qi

СтрокаТаблицы = 13

СтолбецТаблицы = 4

СуммаВышедшихЗаПериод = 0

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

СуммаВышедшихЗаПериод = СуммаВышедшихЗаПериод + Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(4, n).Value

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = СуммаВышедшихЗаПериод / КоличествоЭлементов

Next

'Вычислим 12 строку таблицы(14)=============================p

СтрокаТаблицы = 14

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = 1 - Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(13, n).Value

Next

'Вычислим 13 строку таблицы(15)=============================Uqi

СтрокаТаблицы = 15

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

p = Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(14, n).Value

СтрокаТаблицыПриложения = 2

' проверим попадают ли входные данные в значения таблицы

While Sheets("Квантили норм распределения").Cells(СтрокаТаблицыПриложения, 1).Value <> ""

СтрокаТаблицыПриложения = СтрокаТаблицыПриложения + 1

Wend

If p <= Sheets("Квантили норм распределения").Cells(2, 1).Value Then

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = Round(Sheets("Квантили норм распределения").Cells(2, 2).Value * (-1), 3)

GoTo СледующийПоиск

End If

If p >= Sheets("Квантили норм распределения").Cells(СтрокаТаблицыПриложения - 1, 1).Value Then

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = Round(Sheets("Квантили норм распределения").Cells(СтрокаТаблицыПриложения - 1, 2).Value * (-1), 3)

GoTo СледующийПоиск

End If

СтрокаТаблицыПриложения = 2

While Sheets("Квантили норм распределения").Cells(СтрокаТаблицыПриложения, 1).Value <> ""

If Sheets("Квантили норм распределения").Cells(СтрокаТаблицыПриложения, 1).Value = p Then

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = Round(Sheets("Квантили норм распределения").Cells(СтрокаТаблицыПриложения, 2).Value * (-1), 3)

GoTo СледующийПоиск

End If

If p < Sheets("Квантили норм распределения").Cells(СтрокаТаблицыПриложения, 1).Value And p > Sheets("Квантили норм распределения").Cells(СтрокаТаблицыПриложения - 1, 1).Value Then

If Sheets("Квантили норм распределения").Cells(СтрокаТаблицыПриложения, 1).Value - p < p - Sheets("Квантили норм распределения").Cells(СтрокаТаблицыПриложения - 1, 1).Value Then

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = Round(Sheets("Квантили норм распределения").Cells(СтрокаТаблицыПриложения, 2).Value * (-1), 3)

Else

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = Round(Sheets("Квантили норм распределения").Cells(СтрокаТаблицыПриложения - 1, 2).Value * (-1), 3)

End If

GoTo СледующийПоиск

End If

СтрокаТаблицыПриложения = СтрокаТаблицыПриложения + 1

Wend

СледующийПоиск:

Next

Результаты расчета представлены в таблице Excel (Таблица 1).

Таблица 1

Результаты расчета основных показателей испытаний

В случае усеченной выборки, при проведении испытаний, когда в результате испытаний получены r значений наработки ( r < N ) для отказавших изделий t ₁ , …, t _r , а N — r изделий остались исправными после испытаний, параметры T _ср и σ можно оценить по методу квантилей.

(1)

(2)

Считая, что за время t _i вероятность выхода из строя испытуемых изделий составляет , где i – число отказавших изделий за время t _i . Для этой вероятности находят квантили Uq _i , по таблице квантилей нормального распределения и составляют систему уравнений:

=

=

……………….

= (3)

Полученную систему уравнений решают по методу наименьших квадратов. Все уравнения складывают, в результате чего получают первое нормальное уравнение.

(4)

Второе нормальное уравнение получают суммированием исходной системы уравнений (3)

(5)

Уравнения (4) и (5) решают относительно неизвестных T* _ср и σ* и находят их оценки.

'Составляем системы уравнений

СтолбецТаблицы = 4

СтрокаПВ = 1

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 1).Value = Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(3, n).Value

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 2).Value = "="

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 3).Value = 1

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 4).Value = "Тср"

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 5).Value = Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(15, n).Value

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 6).Value = Sheets("Оформление").Cells(1, 5).Value

СтрокаПВ = СтрокаПВ + 1

Next

'Суммируем систему уравнений

СтрокаПВ = 1

СуммаВремИнтервалов = 0

СуммаТср = 0

СуммаСигм = 0

While Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 1).Value <> ""

СуммаВремИнтервалов = СуммаВремИнтервалов + Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 1).Value

СуммаТср = СуммаТср + Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 3).Value

СуммаСигм = СуммаСигм + Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 5).Value

СтрокаПВ = СтрокаПВ + 1

Wend

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 1).Value = СуммаВремИнтервалов

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 1).Font.Bold = True

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 2).Value = "="

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 2).Font.Bold = True

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 3).Value = СуммаТср

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 3).Font.Bold = True

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 4).Value = "Тср"

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 4).Font.Bold = True

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 5).Value = СуммаСигм

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 5).Font.Bold = True

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 6).Value = Sheets("Оформление").Cells(1, 5).Value

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 6).Font.Bold = True

'Умножаем на соответствующий квантиль uqi левые и правые части уравнений, получим новую систему уравнений.

СтолбецТаблицы = 4

СтрокаПВ = 1

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 10).Value = Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 1).Value * Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(15, n).Value

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 11).Value = Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 2).Value

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 12).Value = Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 3).Value * Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(15, n).Value

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 13).Value = Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 4).Value

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 14).Value = Round(Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 5).Value * Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(15, n).Value, 3)

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 15).Value = Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 6).Value

СтрокаПВ = СтрокаПВ + 1

Next

'Складываем все полученные уравнения, в результате получаем первое нормальное уравнение

СтрокаПВ = 1

СуммаВремИнтервалов = 0

СуммаТср = 0

СуммаСигм = 0

While Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 10).Value <> ""

СуммаВремИнтервалов = СуммаВремИнтервалов + Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 10).Value

СуммаТср = СуммаТср + Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 12).Value

СуммаСигм = СуммаСигм + Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 14).Value

СтрокаПВ = СтрокаПВ + 1

Wend

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 10).Value = СуммаВремИнтервалов

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 10).Font.Bold = True

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 11).Value = "="

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 11).Font.Bold = True

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 12).Value = СуммаТср

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 12).Font.Bold = True

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 13).Value = "Тср"

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 13).Font.Bold = True

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 14).Value = СуммаСигм

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 14).Font.Bold = True

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 15).Value = Sheets("Оформление").Cells(1, 5).Value

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 15).Font.Bold = True

'Решаем систему уравнений вида

'a=b*X+c*Y

'n=m*X+k*Y

'находим строку в таблице где у нас находятся уравнения

СтрокаПВ = 1

While Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 1).Value <> ""

'СуммаВремИнтервалов = СуммаВремИнтервалов + Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 10).Value

'СуммаТср = СуммаТср + Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 12).Value

'СуммаСигм = СуммаСигм + Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 14).Value

СтрокаПВ = СтрокаПВ + 1

Wend

СтрокаПВ = СтрокаПВ - 1

a = Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 1).Value

b = Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 3).Value

c = Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 5).Value

n = Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 10).Value

m = Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 12).Value

k = Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ, 14).Value

Сигма = (b * n - m * a) / (b * k - m * c)

Tcp = (a - c * Сигма) / b

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ + 2, 1).Value = "Tcp"

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ + 2, 2).Value = "="

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ + 2, 3).Value = Tcp

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ + 3, 1).Value = Sheets("Оформление").Cells(1, 5).Value

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ + 3, 2).Value = "="

Sheets("Промежуточные вычисления").Cells(СтрокаПВ + 3, 3).Value = Сигма

'

Суммируя систему уравнений, определяют второе нормальное уравнение:

550= Т _{ср —} 9,298 σ, (6)

Умножая на соответствующий квантиль u _qi левые и правые части уравнений, получают новую систему уравнений.

Складывая все полученные уравнения, в результате получают первое нормальное уравнение:

—407= -9,298Т _ср + 10,015 σ,(7)

Решив совместно уравнения (6.1) и (6.2), получают

Т _ср = 125,86 ч.

σ = 76,21 ч.

'Заполним 14 строку таблицы(16)=============================Тср

СтрокаТаблицы = 16

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Next

СтолбецТаблицы = 4

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, СтолбецТаблицы).Value = Round(Tcp, 2)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

'Заполним 15 строку таблицы(17)=============================Сигма

СтрокаТаблицы = 17

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Next

СтолбецТаблицы = 4

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, СтолбецТаблицы).Value = Round(Сигма, 2)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

Для «стареющих» элементов в качестве распределения интервала безотказной работы используют нормальное распределение. Испытания могут проводиться до возникновения определенного числа отказов или прекращения испытаний после истечения заданного количества часов.

Литература:

1. Коваленко, В. Н., Новиков, А. А. Надежность устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи. учеб. пособие. — Екатеринбург: УрГУПС, 1995. — с. 78.
2. Основы теории надежности автоматических систем управления: учеб. пособие для вузов / Л. П. Глазунов, В. П. Грабовецкий, О. В. Щербаков. — Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отд-ние, 1984. — 208 с.
3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. — М.: Наука, 1980. — 976 с.