В статье авторы пытаются получить математические зависимости угла поворота продольной оси монорельсового транспортного средства во времени, угловые скорость и ускорение в зависимости от скорости движения, радиуса кривизны монорельса и базы транспортного средства.

Ключевые слова: монорельсовое транспортное средство, параметры движения на повороте.

Для определения нагрузок, действующих на монорельсовое транспортное средство и на груз, размещенный в нем, при переходе с прямолинейного на криволинейный участок пути, необходимо знать такие параметры движения, как изменение угла поворота продольной оси ТС во времени, угловые скорость и ускорение. Указанные параметры движения зависят не только от скорости и времени, но и от расстояния между опорами (базы) ТС, а также радиуса кривизны монорельса. Поэтому необходимо иметь зависимости:

, , ,

где , , — соответственно угол поворота, угловые скорость и ускорение соответственно, V- скорость движения, t — время, с — база ТС, R — радиус закругления монорельса.

Будем рассматривать движение ТС при переходе с прямолинейного участка пути на криволинейный и определять значение угла поворота продольной оси ТС с момента прихода передней опоры к точке сопряжения В до момента прихода в эту точку задней опоры (рис. 1). Итак при t=0 ТС занимает положение . Передняя опора находится в точке В, задняя в точке. Рассмотрим положение транспортного средства в произвольный момент времени до прихода задней опоры в точку В. Пусть в момент времени t задняя опора находилась в точке А, а передняя — в точке D на криволинейном участке пути. Радиус закругления монорельса обозначим через R_0. Транспортное средство движется с постоянной скоростью V.

Обозначим угол DAF через и определим зависимость угла от времени t, скорости движения транспортного средства V, его базы с и радиуса R_0. Итак, . (1)

Рис. 1. Схема движения

Рассмотрим рис.1, на котором ; ; ;

. Треугольник DAF — равнобедренный. Угол DAF =.

Из вершины D опустим перпендикуляр DK на сторону AF треугольника DAF и определим отрезок DK.

. (2)

Из треугольника ОВС определим ОС

.

Сторона DC треугольника DKC составляет часть отрезка ОС

. (3)

Из треугольника DKC определим сторону DK

=2, (4)

так как угол α равен углу СОВ и равен углу CDK, как соответственные углы при параллельных прямых ОВ и DK.

Используя зависимости (2) и (4), получим равенство

2, (5)

откуда =. (6)

Определим сторону ВК из треугольника DBK

(7)

При этом по построению. FK определим из прямоугольного треугольника DKF

, откуда

. (8)

Найдем квадрат гипотенузы DB из треугольника DBK

. (9)

В треугольнике DOB опустим перпендикуляр из вершины О на сторону DB. Так как треугольник DOB равнобедренный, то ВО = DО, тогда

и . (10)

Возведем выражение (10) в квадрат и приравняем правые части полученного выражения и выражения (9), тогда получим

(11)

Используя зависимость (6), преобразуем выражение (11). После подстановки (6) в (11) и несложных преобразований получим следующее уравнение

. (12)

Воспользуясь следующими равенствами:

, и , преобразуем выражение (12) и получим новое уравнение

. (13)

Вынеся за скобки (1+ и приравняв оставшуюся часть к нулю, получим

. (14)

Выразив и проведя несложные алгебраические преобразования, получим следующее квадратное уравнение

Решая данное уравнение, получим

. (16)

Откуда

. (17)

Найдем выражение для максимального значения угла .

. (18)

Воспользовавшись зависимостью (6), определим

. (19)

Максимальное значение угла наступает в том случае, когда задняя опора транспортного средства займет положение в точке В, тогда стороны AD и BD совпадут, то есть BD=c. В соответствии с рис. 1 в этом случае

. (20)

Подставив выражение (20) в зависимость (19) и сократив обе части на , получим или , (21)

где α зависит от базы транспортного средства с и радиуса закругления монорельса .

Результаты анализа зависимости (17) и результаты расчетов по формулам (17), (20), (21) показали, что в формуле (17) необходимо перед корнем брать знак минус, поэтому

. (22)

Можно предложить другой подход для получения уравнения (15). При переходе от прямолинейного участка пути к криволинейному транспортное средство переходит от поступательного движения к плоскому. Условия для получения уравнения аналогичны описанным выше.

Выберем начало координат XOY в точке О, совпадающей с центром кривизны криволинейного участка. Тогда

. (23)

Уравнение окружности монорельса на повороте имеет вид

. (24)

Определим координату У для точки D

. (25)

Учитывая, что , находим

. (26)

Величина «а» в соответствии с условиями задачи и геометрическими построениями (Рис.1) определяется зависимостью

. (27)

Подставим формулу (27) в выражение (26) и получим

. (28)

Для исключения координаты «У» воспользуемся зависимостью

, тогда

. (29)

Выполним последовательно ряд формальных преобразований с целью избавления от корня и получения зависимости функции от параметров монорельса и транспортного средства, для чего возведем в квадрат левую и правую части равенства (29)

Проведя несложные преобразования с этим равенством, получим следующее уравнение

(30)

Поделим обе части последнего уравнения на коэффициент при и, выполнив элементарные преобразования, получим

. (31)

В уравнении (31) выразим следующим образом .

После чего возведем в квадрат левую и правую части уравнения. Проведя преобразования получим

Таким образом, полученное уравнение (32) полностью совпадает с выражением (15). Решения уравнений (32) и (15) вида (22) дают весьма громоздкие выражения для угловой скорости и углового ускорения Поэтому вернемся к уравнению (30) и получим решение в несколько другом виде. Введем новые величины

; ; .

Очевидно, что , откуда

. (33)

С учетом преобразований или

Так как ,

, то

, или

(34)

Можно показать, что решение (34) уравнения (30) приводится к виду (17). Однако, как уже отмечалось, получение первой и второй производных от значительно проще при использовании выражения (34).

Расчеты с использованием зависимостей (20), (21), (34) показали, что знак под функцией должен быть «плюс».

Угловая скорость движения транспортного средства при переходе на криволинейный участок монорельса получается в результате дифференцирования зависимости (34)

(35)

Угловое ускорение движения транспортного средства при переходе на криволинейный участок монорельса получается в результате дифференцирования зависимости (35). На рис. 2…4 показаны графики зависимостей , .

Рис. 2. Зависимость угла поворота продольной оси ТС от времени при различных значениях скорости, радиусах закругления монорельса и фиксированной базе

Рис. 3. Зависимость углового ускорения продольной оси ТС от скорости при различных радиусах закругления монорельса и фиксированной базе

Рис. 4. Зависимость углового ускорения продольной оси ТС от базы при различных радиусах закругления монорельса и скоростях движения

Полученные в статье математические зависимости могут быть использованы для определения нагрузок, действующих на монорельсовое транспортное средство и на груз, размещенный в нем, при переходе с прямолинейного на криволинейный участок пути.

Литература:

1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.- 13-е изд., исправленное.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 544 с.