Цель статьи — точного решения задачи Коши для уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом для заряженной частицы, в электрическом поля с компонентами (E₁,E₂) и магнитном поле H. Вектор H перпендикулярен вектору электрического поля (E₁,E₂).

Ключевые слова: гамильтониан, канонические преобразования, сжатые состояния.

Задача о вычислении точных решений уравнения Шредингера имеет важное значение в современной квантовой физике. Ряд актуальных задач квантовой оптики и квантовой теории информации описывается многомодовыми квадратичным гамильтонианом вида:

(1)

В настоящее время существуют различные методы построения решений уравнения Шредингера с гамильтонианом вида (1), к которым можно отнести: метод диагонализации Боголюбова, метод Вея-Нормана, метод функции Грина и др. Каждый из вышеперечисленных методов обладает своими преимуществами и недостатками. Не останавливаясь подробно на каждом, отметим лишь основные трудности, возникающие при применении этих методов.

– Метод диагонализации Боголюбова — метод линейной диагонализации не всегда осуществим.

– Метод Вея-Нормана — не гарантируется существования решения. [8]

– Метод функции Грина связан с трудностями приведения к нормальной упорядоченной форме оператора эволюции.

В настоящей работе для решения задач Коши для уравнения Шредингера с Гамильтонианом вида (1) используется метод Канонических преобразований. Интерес к этому методу также связан с тем, что сжатые состояния, порождаемые оператором , являются инструмент для оценок чувствительности физических приборов. В частности, в работах Д. Холленхорстом (J. Hollenhorst) и К. Кейвсом (C. Caves) рассматриваются возможности квантовых измерений для обнаружения гравитона. В последнее время особый интерес к теме сжатых состояний связан с изучением теории квантовой запутанности, которое играет существенную роль в проектах создания квантового компьютера.

Ниже рассматриваются алгоритмы точного решения задачи Коши для уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом для заряженной частицы, в электрическом поля с компонентами (E₁,E₂) и магнитном поле H. Вектор H перпендикулярен вектору электрического поля (E₁,E₂).

Аналитическое решение задачи о квантовой эволюции в скрещенных электромагнитных полях

Рассмотрим гамильтониан

(2)

Данный H гамильтониан описывает заряженную частицу без учета спина в скрещенных однородном электрическом и магнитном полях. Плоскость действия электрического поля с компонентами (E1,E2) перпендикулярна направлению действия магнитного поля H см. (2). Для упрощения обозначений, уравнение Шредингера написано в предположении, что m = 1, c = 1, e = 1.

Алгоритм решения:

Рис. 1. Схематическое расположение электрического (E1,E2) магнитного поля H

1. С помощью преобразований

привести гамильтониан с координатно-импульсного представления в представление вторичного квантования. Нахождение матриц A и B.

2. С помощью найденных матриц A, B и преобразования

найти матрицы Ψ и Φ.

3. Используя найденные матрицы Ψ,Φ и выражения [1]

найти значения координат и импульса в зависимости от значения магнитного поля H и времени t.

4. Построить графики зависимости координаты и импульса x(t,h)_(1,1) p(t)_(1,1) от времени t и значений магнитного поля H.

Для нахождения матриц A,B подставим величины

(3)

в гамильтониан (2). Учитывая, что

перепишем его в виде

(4)

отсюда сопоставляя (4) с

находим

(5)

Также находим

(6)

Аналитическое представление матрицы Ψ и Φ через элементарные функции в общем случае невозможно, поскольку для этого необходимо решить характеристическое уравнение степени 2n для n-мерных задач.

Метод решения задачи с помощью уравнения Гамильтона

Вернемся к рассмотрению ранее упомянутого гамильтониана

с помощью уравнения Гамильтона

(7)

Где pi = (p1, p2,..., p𝑁) — обобщенные импульсы, q𝑖 = (q1, q2,..., q𝑁) — обобщенные координаты, Η — функция Гамильтона, получим следующие выражения

(8)

Введем вектор неизвестных Z = {x1, x2, p1, p2} и перепишем неравенство (8) в матричном виде

(9)

Мы получили линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений первого порядка общее решение Zg которого можно представить как сумму общего решение однородной части Zgu и частного решения Zp.

(10)

Найдем общего решение однородной части Zgu и применяя обозначение для G, запишем однородную систему в более компактной форме

(11)

После элементарных преобразований получаем

(12)

явный вид находиться методом матричной экспоненты и имеет следующий вид

(13)

решая обратную задачу

(14)

аналогичным образом получаем

(15)

Для нахождения частного решения воспользуемся следующими обозначениями

(16)

подставляя данные величины в (8) и решая систему алгебраических уравнений, находим частное решение Z_p

(17)

Таким образом, общее решение систему дифференциальных уравнений Zg можно записать в виде

(18)

где Z₀-значение вектора Z в момент времени t = 0.

Явный вид матриц Ψ и Φ в этом методе можно получить, если сравнить формулу [2]

с формулой (12) и обратные соотношения к (3), которые имеют следующий вид

(19)

таким образом, получаем

(20)

где матрица K имеет вид

(21)

также не сложно из соотношений (3) определить матрицу перехода от начального вектора из координатно-импульсного представления в представлении вторичного квантования

(22)

где матрица перехода U имеет вид

(23)

таким образом, подставляя (22) в (20) получаем

(24)

сравнивая выражения [3]

c выражением (28), получаем

(25)

производя матричное произведение KU, мы можем получить аналитическое выражение для компонент матриц Ψ и Φ

(26)

Метод решения задачи с помощью матриц канонических преобразований

Продолжим рассмотрение ранее упомянутого гамильтониана

Для нахождения матриц A,B подставим величины

(27)

в гамильтониан (2). Учитывая, что

перепишем его в виде

(28)

отсюда сопоставляя (28) с выражением [6]

находим

(29)

также находим

Для нахождения матриц Ψ_t и Φ_t воспользуемся уравнением Гейзенберга для операторов рождения-уничтожения

(30)

получим

(31)

решая совместно (30) и (31) получаем

(32)

далее интегрируя данное выражение, получаем

(33)

поскольку матрицы A, B и вектор h известны, то решая методом матричной экспоненты уравнение (32) мы можем получить явные представления функций Ψ_t и Φ_t и вектора h_t

(34)

Для того, чтобы получить зависимость координаты и импульса заряженной частицы от времени и значений магнитного и электрического полей, подставим соотношения (30) в (27)

(35)

где

(36)

в котором

значение координат и импульса в начальный момент времени.

Подставляя матрицы Ψ_t и Φt из (34) в (35) получаем

(37)

где

Отметим, что для линейных членов

(38)

так как вектор

По найденным выражениям построим графики среднего значения координаты и импульса в зависимости от времени t и значения магнитного поля H.

Рис. 2. График зависимости среднего значения координаты x₁ (H,t) от времени t и значения магнитного поля H

Рис. 3. График зависимости среднего значения импульса p₁ (H,t) от времени t и значения магнитного поля H.

Литература:

1. Чеботарев, А. М. Сжатые состояния и их применение в задачах квантовой эволюции / А. М. Чеботарев, Т. В. Тлячев, А. А. Радионов // Математические заметки. — 2011. — Т. 89. — С. 614–634.
2. Чеботарев, А. М. Обобщенные сжатые состояния и многомерная формула факторизации / А. М. Чеботарев, Т. В. Тлячев, А. А. Радионов // Математические заметки. — 2012. — Т. 92. — С. 762–777.
3. Chebotarev, A. M. Lectures on quantum probability / A. M. Chebotarev. — Sociedad: Mathematica Mexicana, 2000. — 305 p
4. Tlyachev, T. V. A new approach to quantum theory of multimode coupled parametric processes / T. V. Tlyachev, A. M. Chebotarev, A. S. Chirkin // Physica Scripta –2013. — V. T153. — 014060.
5. Chebotarev, A. M. Normal Forms, Inner Products, and Maslov Indices of General Multimode Squeezings / A. M. Chebotarev, T. V. Tlyachev // Mathematical Notes.– 2014. –Vol. 95- No. 5 — pp. 721–737.
6. R. P. Feynman, “An operator calculus having application in quantum electrodynamics,” Phys. Rev. 84 (1), 108–128 (1951).
7. F. A. Berezin, The Method of Second Quantization (New York, 1966).
8. Wei, J. Lie algebraic solution of linear differential equations / J. Wei, E. Norman //J. Math. Phys. — 1963. — V. 4. — P. 575–581.
9. А. В. Поляков, А. М. Чеботарев, “Метод Монте-Карло для уравнения Шрёдингера с периодическим асимметричным потенциалом”, Ж. вычисл. матем. и матем.физ., 44:10 (2004), 1898–1908.