1. Введение

Построение системы, обеспечивающей требуемое качество при воздействии на объект внешних возмущений, является одной из основных проблем современной теории управления. В классе задач робастного управления существует большое число методов и подходов к решению данной задачи. Наиболее полно робастная теория и библиография по ней представлена в [1]. Алгоритм управления, построенный с использованием внутренней модели гармонических колебаний, получен в [2-5]. Но одной из основных проблем при синтезе систем управления, позволяющих компенсировать возмущения, является задача формирования сигнала, несущего информацию о них, и позволяющего использовать его для получения нужных оценок. И эта проблема решена в [6-9], где используется метод вспомогательного контура, который позволяет выделить сигнал, несущий информацию о помехах, получить требуемые оценки и скомпенсировать нежелательное воздействие помех на регулируемые параметры.

В данной работе предложен способ построения системы управления для линейного объекта, у которого все параметры известны, а на входе и на регулируемом выходе действуют возмущения, причем возмущения эти различны, причем для этого не требуется никаких априорных знаний о параметрах внешних возмущениях. Спроектированная система управления позволяет скомпенсировать влияние помех на регулируемые переменные с заданной точностью и сделать их независимыми от не измеряемых неограниченных возмущений на входе системы. Основные результаты получены с использованием технологии конструктивного вложения систем [10] и метода вспомогательного контура [6-9].

2. Постановка задачи

Объект управления задан в виде уравнений (1) – (3):

(1)

(2)

(3)

где , , , – векторы состояния, управления, измеряемых и регулируемых параметров соответственно, – вектор внешних возмущений, – шум на выходе статического звена модели системы; – начальные условия;– числовые матрицы соответствующих порядков.

Требуется получить алгоритм функционирования системы управления, которая обеспечивает выполнение целевого условия

(4) при ,

где – достаточно малая величина, – время, по истечении которого должна обеспечиваться требуемая динамическая точность после включения системы в работу.

Предположения:

1. пара – управляема, а пара – наблюдаема;
2. возмущение на входе системы – ограниченная функция;

iii) помеха на выходе системы – ограниченная функция;

iv) все матрицы в (1) – (3) известны.

Другие ограничения будут приведены в условиях утверждения.

2. Метод решения

Будем формировать вектор управления в виде

(5) ,

где – вспомогательное управление измерением; – числовая матрица регулятора.

1. Предварительные сведения о канонизации матриц

Если матрица неполная (необратимая), она содержит линейно зависимые строки и/или столбцы. Для описания линейной зависимости и независимости строк и столбцов матрицы удобно использовать понятия делителей нуля максимального ранга и канонизаторов. В [10] канонизацией названо не обязательно единственное разложение любой матрицы размера и ранга на четверку матриц, удовлетворяющих следующему равенству в блочной записи

где и – левый и правый делители нуля максимального ранга, и – левый и правый канонизаторы (, – единичная матрица размера ). Для любой матрицы левый (правый ) делитель нуля максимального ранга характеризует все линейно зависимые комбинации строк (столбцов) исходной матрицы в соответствии с тождеством

().

При решении матричных уравнений методом канонизации используется понятие сводного канонизатора , вычисляемого по формуле

и удовлетворяющего условиям регулярности по Нейману

, .

Сводный канонизатор характеризует совокупность линейно независимых комбинаций строк и столбцов исходной матрицы. Частным случаем сводного канонизатора является псевдообратная матрица по Муру – Пенроузу . Для матрицы полного строчечного ранга сводный канонизатор совпадает с правым делителем единицы

,

а для матрицы полного столбцового ранга – с левым делителем единицы

.

Правым (левым) делителем единицы для матрицы размера полного строчечного (столбцового) ранга называется матрица (), удовлетворяющая условию

().

Для определения параметров регулятора, воспользуемся утверждением, сформулированным В.Н. Буковым [10, с.473].

Утверждение 1. Система (1) – (3) при заданных матрицах обладает инвариантностью к возмущениям в смысле тождества

тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) существует ненулевая калибровочная матрица инвариантности , для которой выполняется условие

,

;

2) матрица эффективности возмущения принадлежит множеству

,

где – произвольная числовая матрица подходящего размера;

3) система, замкнутая любым регулятором (6) из множества

(6) ,

где – матрицы подходящих размеров с произвольными элементами [10].

2. Синтез управления

Используем закон управления (5), тогда уравнение объекта (1) – (3) примет вид

,

где матрица Гурвицева, то есть собственные числа удовлетворяют условию . С помощью технологии конструктивного вложения систем, определив регулятор по формуле (6), мы добиваемся того, что передаточная функция от возмущения к регулируемому выходу станет равна нулю, и, соответственно, компонента компенсируется. Далее перейдем к представлению системы в виде вход – выход,

(7)

где – оператор дифференцирования; , - транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы ; , .

Далее воспользуемся методом вспомогательного контура, и выделим сигнал, несущий информацию о помехах, для чего возьмем подсистему, которая описывается уравнением

(8) ,

и составим уравнение для сигнала рассогласования , вычитая (8) из (7):

(9) .

Из уравнения (9) выделим сигнал

(10) .

Для реализации (10) требуется гурвицевость полинома , что можно обеспечить соответствующим подбором матрицы . Однако такой подбор не всегда возможен. Таким образом, должна существовать матрица , обеспечивающая гурвицевость полиному , что является дополнительным ограничением, не оговоренным в предположении. Поскольку , то (9) реализуемо, и сформировав вспомогательный сигнал управления в виде

(11)

получим уравнение для вектора состояния объекта

,

Утверждение 2. Пусть выполнены условия предположений и существует матрица , обеспечивающая устойчивость числителя передаточной функции (8). Тогда управляющее устройство, динамические процессы в котором описываются уравнениями (5), (6), (8), (11) обеспечивает выполнение целевого условия (4).

2. Пример

Рассмотрим задачу стабилизации для объекта управления, динамические процессы в котором описываются уравнениями (1) – (3).

, , , , .

Формируем закон управления в виде .

Условия утверждения 1 выполняются. Для упрощения примем все варьируемые параметры равными нулю и получим следующую матрицу регулятора

Вспомогательное управляющее воздействие формируем в виде

,

где , . Для рассматриваемого примера получим следующее вспомогательное управляющее воздействие

.

Тогда получим матрицу во вспомогательном контуре

, с собственными числами .

На рис. 1 приведены результаты моделирования системы управления при следующих исходных данных: начальные условия , возмущающие воздействия на входе и , шум на выходе представляет собой случайный сигнал.

Рис. 1. Переходные процессы в системе, когда случайный сигнал

В данном случае целевое условие выполняется через 8 секунд.

2. Заключение

Решена задача построения робастной системы управления линейным стационарным объектом без запаздываний и каких-либо ограничений на управление, которая позволила скомпенсировать возмущения на входе и на выходе системы, причем возмущения эти различны. Спроектированная система управления позволяет скомпенсировать влияние возмущения на регулируемые переменные с заданной точностью, что продемонстрировано на примере.

Литература:

1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002.
2. Никифоров В.О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 4. С. 69-73.
3. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 2. С. 93-97.
4. Никифоров В.О. Наблюдатели внешних возмущений. 1. Объекты с известными параметрами // АиТ. 2004. № 10. С. 13-24.
5. Никифоров В.О. Наблюдатели внешних возмущений. 1. Объекты с неизвестными параметрами // АиТ. 2004. № 11. С. 40-48.
6. Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // АиТ. 2007. № 7. С. 103-115.
7. Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления нестационарным объектом с компенсацией возмущений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 33-40.
8. Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления линейным динамическим объектом // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 8. С. 7-12.
9. Цыкунов А.М. Компенсация возмущений и помех при децентрализованном управлении по косвенным измерениям // АиТ. 2010. № 4. С. 120-129.
10. Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. - Калуга: Изд-во науч. литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006.