Коэффициент формы как геометрическая характеристика

Фетисова Мария Александровна; Володин Сергей Сергеевич

The article in propose form different, which can be applied at comparison the form geometry.

В статье идет речь о коэффициенте формы, который может применяться при сравнении геометрических фигур.

Проектирование современных зданий и сооружений связано с всесторонними исследованиями прочности и жесткости конструкций, находящихся под воздействием статистических и динамических нагрузок.

Проблема сравнения разнообразных геометрических фигур широко представлена в различных отраслях науки и может возникнуть в задачах, в которых объектом исследования является замкнутая односвязная область. К этой проблеме приводит и изопериметрическая задача, широко распространенная в математике, механике сплошных сред, математической физике, строительной механике мембран, пластинок и оболочек [1].

При сравнении геометрических фигур выбирается критерий сравнения. Иногда для этого достаточно воспользоваться площадью и периметром фигур. При сравнении правильных многоугольников в качестве критерия используется число сторон; при сравнении ромбов – угол между смежными сторонами и т.д. При сравнении же фигур различных классов, например, равносторонний треугольник и прямоугольник, выбор критерия сравнения затруднен. Как показали исследования Д. Пойа и Г. Сеге [2] во многих прикладных задачах математической физики, в качестве такого критерия может успешно использоваться интегральная характеристика формы фигур (коэффициент формы K_f).

Коэффициент формы плоской области является количественной характеристикой формы области и выражается через контурный интеграл

, (1)

где ds – линейный элемент контура области (рисунок 1); h – высота опущенная из полюса, взятого внутри области, на касательную к переменной точке контура; L – периметр области. Для фигур с криволинейным контуром выражение (1) можно преобразовать к следующему виду:

, (2)


Рисунок 1	Рисунок 2

где r = r(&#;) - полярное уравнение контура области с полюсом в точке «а». Из выражения (2) следует теорема 1: из всех плоских фигур наименьшее значение K_f = 2π имеет круг, так как для него r′ = 0.

Для областей с полигональным контуром выражение (1) примет вид:

, (3)

где l_i, h_i длина i-ой стороны многоугольника и высота, опущенная из полюса на i-ю сторону (рисунок 2); и – углы прилежащие к i-той стороне и ограниченные отрезками прямых, проведенными из полюса в углы полигона; n – количество сторон многоугольника.

Если контур заданной области составлен из криволинейных и прямолинейных участков, то с учетом выражений (2) и (3) получим:

, (4)

где k – число криволинейных участков области, описываемых одной аналитической зависимостью; - полярное уравнение j-го участка криволинейной части контура, ограничивающий радиусами-векторами j-ый участок криволинейного контура области.

Из элементарной геометрии известно, что из всех n-угольников равной площади А правильный n-угольник имеет наименьший периметр. Таким образом, из всего множества угольников, все стороны которых касаются вписанной окружности наименьшее значение K_f имеет правильный n-угольник. Как видим и в этом случае для фигур, имеющих центр симметрии, min K_fa, достигается тогда, когда точка "а" совпадает с ним.

Обобщая две предыдущие теоремы, можно сформулировать более общую теорему для n-угольников: из всего множества n-угольников наименьшее значение K_f имеет правильный n-угольник.

Таблица

Коэффициенты формы для различных геометрических фигур

Наименование и рисунок фигуры

Формула

Треугольники

Для равнобедренных треугольников:

где α, γ – углы при вершинах.
Для прямоугольных треугольников (β = 90°):

Параллелограммы

Для параллелограмма

где a, b – стороны параллелограмма; α – угол при основании.

Для прямоугольников: ,

где a, b – стороны прямоугольника; k = a/b.

Для ромба: ,

где α – угол при основании

Трапеции

Для равнобочной трапеции (&#;1 = &#;2 = &#;):</DL> <A HREF="images/127e35f1.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/127e35f1.gif" NAME="Объект18" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=409 HEIGHT=48></A>, где k = a1/a2 - отношение оснований равнобочной трапеции; &#; - угол у основания; K = h1/H – параметр минимизации.<DL> <DT> Для прямоугольной трапеции (&#;1 = 90о, &#;2 = &#;):</DL> <A HREF="images/m6381b563.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m6381b563.gif" NAME="Объект19" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=164 HEIGHT=45></A>.</TD> </TR> <TR VALIGN=TOP> <TD WIDTH=160 STYLE="; border-top: 1px solid #000000; border-bottom: 1px solid #000000; border-left: 1px solid #000000; border-right: none; padding-top: 0cm; padding-bottom: 0cm; padding-left: 0.19cm; padding-right: 0cm"> Эллипсы <A HREF="images/2faa39c3.png" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/2faa39c3.png" NAME="Графический объект4" ALIGN=BOTTOM WIDTH=136 HEIGHT=90 BORDER=0></A></TD> <TD WIDTH=467 STYLE="; border: 1px solid #000000; padding: 0cm 0.19cm"> Для эллипсов: <A HREF="images/5cf05c80.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/5cf05c80.gif" NAME="Графический объект5" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=264 HEIGHT=57 BORDER=0></A>, где a и b – полуоси эллипса.</TD> </TR> </TABLE> Изопериметрические свойства коэффициента формы: 1. Kf – величина безразмерная и не зависит от масштаба фигур; 2. Kf дает количественную оценку формы геометрических фигур с выпуклым контуром и может служить критерием для оценки их «правильности» («симметричности»); 3. Любая фигура с выпуклым контуром имеет внутри области единственную точку "а" (центр полярной системы координат), которая обеспечивает минимальное значение коэффициенту формы для заданной фигуры (для фигур, имеющих две и более осей симметрии, точка "а" соответствует их точке пересечения; для фигур, имеющих одну ось симметрии, точка "а" лежит на этой оси); 4. Из всех плоских областей наименьшее значение Кf имеет круг (Кf = 2π); 5. Из всех n-угольников наименьшее значение Кf имеет правильный n – угольник; <TABLE WIDTH=676 CELLPADDING=7 CELLSPACING=0> <COL WIDTH=324> <COL WIDTH=324> <TR VALIGN=TOP> <TD WIDTH=324 STYLE="; border: none; padding: 0cm"> <A HREF="images/6edc87b4.jpg" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/6edc87b4.jpg" NAME="Графический объект6" ALIGN=BOTTOM WIDTH=253 HEIGHT=208 BORDER=0></A> Рисунок 3</TD> <TD WIDTH=324 STYLE="; border: none; padding: 0cm"> 6. Значения Кf для всего множества плоских областей с выпуклым контуром, представленных в координатных осях Кf –R/ρ (где R - максимальный радиус вписанной в заданную область окружности, ρ - минимальный радиус окружности, описанной вокруг нее) ограничены с двух сторон: нижнюю границу значений Кf образуют эллипсы, а верхнюю многоугольники, все</TD> </TR> </TABLE> стороны которых касаются вписанной окружности, в том числе: правильные многоугольники, ромбы и треугольники; нижнюю границу значений Кf для всего множества четырехугольников образуют прямоугольники (рисунок 3). Последнее свойство коэффициента формы является наиболее важным, оно имеет большое прикладное значение в методе интерполяции по коэффициенту формы. Таким образом, коэффициент формы области является геометрическим аналогом интегральных характеристик и его использование в качестве единственного независимого аргумента при построении аппроксимирующих функций позволяет свести решение сложных физических задач к решению элементарной геометрической задачи. Литература: <OL><LI> Коробко, А.В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости &#;Текст&#; / А.В. Коробко. – М.: Изд-во АСВ, 1999. – 320 с.<LI> Фетисова, М.А. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба пластинок с комбинированными граничными условиями: диссертация ... кандидата технических наук: 05.23.17 / Фетисова Мария Александровна; [Место защиты: Орлов. гос. техн. ун-т].- Орел, 2010.- 162 с.: ил. </OL>

Молодой учёный

Коэффициент формы как геометрическая характеристика

Коэффициент формы как геометрическая характеристика

Молодой учёный