В работе построена семимартингальная модель динамики нормального суточного профиля артериального давления, разработанная на основе данных суточного мониторинга.

Ключевые слова: семимартингал, артериальное давление, процесс Орнштейна-Уленбека, мультивариантный процесс, точечный процесс.

На сегодняшний день математическое моделирование широко используется в биологии и медицине как актуальный и эффективный метод решения прикладных задач. Особый интерес для научных исследований представляют математические модели сердечно-сосудистой системы человека [2–4].

В статье разработана математическая модель нормального суточного профиля артериального давления (АД) в семимартингальных терминах. В семимартингальном описании заключается специфика и новизна данной модели. Разработанная вероятностная модель является новой и актуальной для решения прикладных задач биологии и медицины.

Статистический анализ данных.

Исследование суточного профиля АД проводилось в лаборатории артериальной гипертонии Ульяновского клинического госпиталя ветеранов войн. По результатам суточного мониторирования артериального давления (СМАД) и дополнительного медицинского обследования у 144 пациентов не было выявлено сердечно-сосудистых патологий. Мониторирование проводилось с использованием носимого АД-монитора «BPLab МнСДП-3» (ООО «Петр Телегин», Нижний Новгород).

Согласно анализу экспериментальных данных, в активный период кривая циркадианного ритма АД имеет два пика, первый наблюдается в интервале , второй — в интервале . Третий пик приходится на ночное время, в интервале , при этом средние ночные значения АД должны быть ниже средних дневных на 10–20 %. Далее в период начинается утренний подъем АД. На каждом из четырех промежутков циркадианный ритм АД представляет собой выпуклую вверх функцию. В настоящей работе в качестве таких функций рассматриваются синусоиды. Параметр — момент начала СМАД, выбираемый, как правило, в утреннее или послеполуденное время до 14:00. Параметр — момент завершения эксперимента, в большинстве случаев приходится на утренние часы. Моменты времени , и определяются по экспериментальным данным.

Математическая модель нормального суточного профиля артериального давления

Пусть на стохастическом базисе задан непрерывный случайный процесс , описывающий нормальную суточную динамику АД.

Процесс Y представляет собой сумму детерминированной и стохастической составляющих:

,

где детерминированная функция — циркадианный ритм АД, а случайный процесс V — вариабельность АД. Время t измеряется в часах. Параметры и T — моменты начала и окончания эксперимента.

Математическая модель циркадианного ритма АД имеет вид:

Параметры и определяются на основе реальных данных. Значения неизвестных параметров , , , , , найдены с помощью методов оптимизации (например, метода наименьших квадратов). При этом функция должна удовлетворять следующим требованиям:

1) Непрерывность на отрезке .

2) Выпуклость вверх на каждом из четырех промежутков , , и , где параметры , и представляют собой моменты времени , и , переведенные в количество часов.

Случайный процесс V представляет собой сумму смещенного процесса Орнштейна-Уленбека D и процесса M, совершающего скачки в случайные моменты времени:

Случайный процесс задается как

где параметр сдвига a вычисляется как среднее арифметическое суммы разностей между экспериментальными данными после выбраковки значительных колебаний АД и значениями функции в соответствующих узловых точках.

Процесс Орнштейна-Уленбека является решением уравнения Ланжевена [1]

с начальным условием где — неотрицательная случайная величина с конечной дисперсией. Параметр — коэффициент линейного роста, параметр — коэффициент диффузии. Процесс — винеровский с начальным значением .

Траектории случайного процесса

с начальным условием . Случайный процесс — произвольный точечный процесс с нулевым начальным значением . Последовательность — независимые равномерно распределенные на случайные величины, . Значения параметров и определяются экспериментально. В связи с тем, что процесс M не совершает скачков в начальный момент времени , и до момента первого скачка значения процесса M равны нулю, в качестве рассматривается . Последовательность — независимые положительные случайные величины

где параметр вычисляется на основе экспериментальных данных, а — последовательность независимых положительных случайных величин, удовлетворяющих условию для любого . Начальное значение .

Процесс M — семимартингал, совершающий скачки в моменты скачков считающего процесса N. Значения траекторий процесса M интерпретируются как значительные колебания уровня АД, вызванные стрессовыми воздействиями. Каждый скачок процесса M совершается в случайный момент времени (момент скачка процесса N) на случайную величину , . Случайные величины характеризуют скорость спада АД после каждого значительного скачка.

Заключение

На основе экспериментальных данных разработана семимартингальная модель нормального суточного профиля артериального давления. Данная концепция может найти применение в медицине при изучении гомеостатических систем организма, диагностике нарушений суточной кривой артериального давления пациента, а также в учебно-исследовательской деятельности бакалавров и магистров физико-математического и медицинского факультетов.

Литература:

1. Бутов А. А. Элементы стохастического исчисления / А. А. Бутов. — Ульяновск: УлГУ, 1996. — 25 с.
2. Воронин И. М. Циркадный ритм артериального давления у здоровых людей и его прогностическое значение [Электронный ресурс] / И. М. Воронин, Е. А. Баженова // Естествознание и гуманизм: сб. научн. трудов; ред. Н. Н. Ильинских. — Томск, 2006. — Т. 3, вып. 4. — С. 67–68. — Режим доступа: http://www.tele-conf.ru/files/raznoe/EG-3–4-2006.rar (дата обращения: 20.04.2018).
3. Разин В. А. Предикторы эффективности антигипертензивной терапии у больных гипертонической болезнью: дис.... канд. мед. наук: 14.00.06. — Самара, 2004. — 148 с.
4. Цфасман А. З. Циркадная ритмика артериального давления при измененном суточном ритме жизни (работе в ночное время): монография / А. З. Цфасман, Д. В. Алпаев. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Репроцентр М, 2011. — 144 с. — ISBN 978–5-94939–059–7.