Задача тепло- имассообмена впористых оболочках свнутренним телом

Атамирзаев Махмуджан, доцент,

Юлдашев Нурилла Нигматович, доцент

Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства (Узбекистан)

Многие задачи химической технологии, механики приводятся к задачам тепло- и массообмена в пористых средах. Например, к задачам такого типа можно отнести сушку кокона. При сушке кокон моделируется как пористая сферическая или цилиндрическая оболочка с внутренним телом (куколка). В статье предлагается математическая модель сушки кокона.

Процесс сушки кокона можно условно разделить на два этапа. На первом этапе за счет нагрева увеличивается давление газа в наружной области кокона. Происходит фильтрация нагретого воздуха вовнутрь кокона и заодно нагревается кокон. Из-за теплопередачи и фильтрации нагретого воздуха воздух внутри кокона и куколка нагреваются. Нагрев куколки продолжается таким образом до достижения ею температуры кипения воды Т_кип. При достижении Т_кук=Т_кип начинается второй — более сложный этап тепло- и массообмена, так как начинается испарение. Полагая постоянство температуры куколки, так как идет испарение, можно определить скорость испарения. Далее идет обратная фильтрация: с увеличением концентрации газа внутри кокона увеличивается давление смеси. Это приводит к выходу смеси воздуха и водяного пара из кокона. После определенного времени устанавливается режим, когда образуются однородные температурное и барическое поля.

Сформулируем задачи по этапам.

Положим, что поверхности кокона и куколки образуют концентрические сферы. Куколка имеет радиус R_кл, внутренний и внешний радиусы кокона составляют R_кв и R_кн. Введем также условный радиус R_y, который отражает не занятое коконами пространство воздуха V_воз (рис. 1):

Рис. 1. Геометрическая интерпретация предполагаемой облас-ти сложного тепло-массообмена.

(1)

где — объем, занятый коконами в сушилке; — объем сушки.

Полагаем, что объем закрыт. То есть тепло- и массообмен между сушилкой и окружающей средой отсутствуют.

В начальный момент все пространство имеет одинаковую температуру Т₀. Воздух имеет нулевую скорость , плотность и давление Р₀. Плотность куколки составляет .

С момента времени t = 0 на поверхности r = R_y устанавливается температура Т_у = const. Так как через эту поверхность отсутствует массообмен, то, с = 1. Здесь и далее с — массовая концентрация воздуха в смеси (воздух + пар воды).

В наружной области кокона скорость давления движение, и температура чистого воздуха описываются уравнениями [2]:

(2)

Здесь — коэффициент теплопроводности воздуха (в целом, смеси воздуха и водяного пара), — кинематическая вязкость воздуха, — приведенная изобарическая теплоемкость воздуха.

Уравнение состояния воздуха описывается зависимостью

(3)

Здесь и далее полагаем, что , и имеют постоянные значения.

Увеличение температуры газа в наружной области приводит к увеличению давления. В наружной и внутренней поверхностях оболочки кокона давление имеет разные значения Р_кн и Р_кв. Благодаря их разности воздух начинает просачиваться через оболочки кокона со скоростью [1]:

(4)

где — коэффициент фильтрации оболочки кокона.

Так как Р_кв<Р_кн, то u_f имеет отрицательное значение в начальной стадии сушки.

Теплообмен газа с коконом имеет идеальный случай интенсивности. С одной стороны имеет место теплообмен газа с поверхностью кокона, с другой стороны просачивающийся воздух обогревает тонкие нитки, которые практически моментально приобретают температуру воздуха.

В связи с этим можно принимать равными температур газа и оболочки в фиксированном слое и в заданное время. С учетом постоянного значения пористости скелета закон сохранения и переноса энергии в газе описывается уравнением в вида:

,(5)

где q– количествотепла, предаваемое от газа в скелет оболочки за единицы времени в единичном объеме. Соответствующее уравнение для скелета оболочки имеет вид:

,(6)

где индексом “ск” выделены параметры скелета оболочки кокона.

По членным суммированием последних двух уравнений получим одно-температурную модель теплообмена в оболочке кокона:

(7)

Пологая, что из (4) отражает скорости газа в наружной сфере оболочки кокона, определим в виде:

,(8)

который вытекает из грубой аппроксимации уравнения сохранения массы, где — плотность воздуха на верхней границе кокона, т. е. при .

Подобным образом скорости и служат граничными для скорости газа условиями во внешней и внутренней поверхностях оболочки кокона.

Однозначность температуры газа на поверхностях оболочки достигается применением условий:

,(9)

Которые обеспечивают также непрерывность распределения температуры в области расчета.

В полости между коконом и куколкой процессы переноса описываются уравнениями (2) и (3). В первом этапе сушки, когда испарение отсутствует, т. е. , на поверхности куколки скорость потока равняется нулю (здесь — температура поверхности куколки; — температура кипения воды). Нагревание куколки происходит благодаря поверхностного теплообмена

,(10)

где индексом “кл”выделены параметры куколки.

Внутри куколки теплообмен описывается уравнением:

,(11)

которое реализуется совместно с условием симметрии в центре куколки:

(12)

С достижением процесс усложняется, т. к. начинается испарение воды из куколки. Соответственно в уравнении (3) следует заменить на:

,(13)

где и – соответственно молярные массы воздуха и водяного пара. Аналогично в системе (2) следует ввести замены вместо , на, aна ,

где: — изобарическая теплоемкость воздуха; — изобарическая теплоемкость пара; — теплоемкость смеси (воздух+пар воды).

В стадии испарения на поверхности куколки налагается условие

.(14)

Здесь– плотность теплового потока, предаваемого газом

куколке; — часть тепла, затрачиваемая на нагревание куколки,– количество тепла расходуемое на испарение воды с скоростью , — удельная теплота испарения (Дж/кг); — уносимое с испарившимся паром тепла,

где: — количество массы влаги выделяемая из куколки за единицу времени; — поверхность куколки ().

На поверхности испарения скорость газа составляет:

,(15)

где — плотность пара воды при температуре кипения при заданном давлении; — радиус куколки.

Литература:

1. Теория тепломассообмена: Учебник для вузов / С. И. Исаев и др.; Под ред. А. И. Леонтева. — М.: Высшая школа, 1979. — 495с.
2. Продьяконов И. О., Люблинская И. Е., Рыжков А. Е. Гидродинамика и массообмен в дисперсных системах жидкость — твердое тело. — Л.:1987.