В данной статье предлагается разработка урока алгебры в 7 классе по учебнику А. Г. Мордковича. Школьникам скоро предстоит сдавать экзамены, и многие из них хотят, как можно хорошо и быстро научиться решать задачи. И в таких случаях можно применять нестандартные решения. Задания: «Решить систему уравнений» входят в задания экзамена как после 9 класса, так и после 11 класса. Данное изучение лучше применить на втором уроке в теме «Решение систем уравнений способ сложения».

Цель: Познакомиться с нестандартным решением систем линейных уравнений.

Задача: Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера и сравнить с другими методами решения.

Ход урока

1. Сегодня на уроке мы рассмотрим нестандартный способ решения систем уранений с двумя переменными и сравним данный способ решения с другими решенями. Но сначала повторим темы прошлых уроков:

– Что значит «решить систему линейных уравнений»? (Найти все его корни, или показать, что их нет.)

– Что является решением системы с двумя переменными? (Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.)

– Какие способы решения систем уравнений мы применяли? (способ сравнения; графический способ; способ подстановки; способ сложения)

К доске вызываются четыре ученика и решают систему различными способами, а остальные по вариантам. После решения ученики рассказывают алгоритм решения, в случае затруднения помогает класс.

2. При решении систем уравнений с двумя переменными можно применить еще один способ, применяя метод Крамера. Габриэль Крамер (Gabriel Cramer) (31.07.1704 — 04.01.1752). Швейцарский математик, один из создателей линейной алгебры.

Данный метод значительно ускоряет процесс решения систем линейных уравнений и очень удобно применять его для систем с громоздкими вычислениями.

Метод Крамера применяется в Высшей математике при решении системы линейных уравнений с тремя неизвестными или решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Вам будет интересно научиться применять решение, не просто школьного курса, а решение, которые применяют студенты первых курсов высших заведений.

В данном методе при решении используют понятие определителя системы:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается Δ(дельта) и вычисляется по формуле.

где, _, — заданные числа_; х и у- неизвестные, числа — называются коэффициентами, а числа — свободными членами.

Δ = = а₁₁ · а₂₂ — а₁₂ · а₂₁.

Для нахождения неизвестных н6ам нужно найти еще два определителя и , путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

= = в₁ · а₂₂ — а₁₂ · в₂.

= а₁₁ · в₂ — в₁ · а₂₁.

Формула Крамера для нахождения неизвестных: х = ; у = .

Найти значения неизвестных можно только при условии, когда определитель не равен нулю (Δ≠0).

Замечание: если определитель системы равен нулю, то система может иметь бесконечно много решений или не имеет решений.

Пример:

Δ = = 3·4–2·5 = 12–10=2≠0

Найдем еще два определителя и , путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

= 2;

Формула Крамера для нахождения неизвестных: х = ; у = . Ответ: (1;-2).

3. Решите систему уравнений способ сложения и методом Крамера:

а) ; б) ; в)

Решив системы, сделаем вывод: какой способ решается быстрее и легче?

– способ сравнения: выразим переменную у через х, решим уравнение через х, приравняв правые части уравнения, и найдем переменную у;

– графический способ: выразим переменную у через х, построим график. Но на графике не всегда можно увидеть точное решение;

– способ подстановки: выразим одну переменную через другую, подставим и решим уравнение, найдем другую переменную;

– способ сложения: умножим уравнения системы на такие множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными; сложим левые и правые части уравнений системы; решим получившееся уравнение с одной переменной и найдем другую переменную;

– методом Крамера: по формулам найдем три определителя и переменные.

При рассмотрении решений несколькими способами ученики убеждаются, что метод Крамера упрощает время и трудности вычисления для нахождения неизвестных в решении систем уравнений.

4. Итоги урока:

— Сегодня на уроке мы обобщили все методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

— Какие способы решения вы знаете?

— Каким бы способом вы решали системы уравнений и почему?

— А какой способ решения вы бы применили на экзамене?

5. Домашнее задание: 1225(а, б), 1226.

Литература:

1. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К.И. и др. Алгебра 7 класс. Учебник. –М.: Просвещение 3-е изд. — М.: 2014. — 256 с.

2. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшее математике. 1 часть.- второе издание, испр.- М: Айрис-пресс, 2003.-288с.: ил.
3. Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. математика: учебное пособие для техникумов. -М.: Высшая школа, 1991 480 с: ил.
4. Пичурин Л. Ф. За страницами учебника алгебры. — М: Просвещение, 1990–224с., ил.