Исследованию существенного спектра модельных непрерывных и дискретных операторов Шредингера посвящены многие работы (см. например, [1] и [2], соответственно). Обычно в физической литературе используется “локальные” потенциалы, т. е. операторы умножения на функцию. Однако потенциалы, которые строятся, например, в теории псевдопотенциала оказываются нелокальными и представляют собой, в том числе для периодического оператора, сумму локального потенциала и некоторого конечномерного. В настоящей работе рассматривается модельный оператор Н, как сумма оператор умножения и частично интегрального оператора. Рассмотрим модельный оператор Н, действующий в гильбертовом пространстве по формуле где — есть оператор умножения, а V — частично-интегральный оператор:

Можно проверить, что в этом случае оператор Н, является ограниченным и самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве . Для формулировки основного результата настоящей работы наряду с оператором Н рассмотрим также ограниченную и самосопряженную модель Фридрихса , действующую в как

, где операторы и v определяются по правилам

Видно, что оператор v является одномерным. Поэтому

Теперь перейдем к изучению дискретного спектра оператора . Пусть С- комплексная плоскость. При каждом фиксированном определим регулярную в функцию

Тогда легко проверяется, что

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема 1. Оператор Н имеет чисто существенный спектр и для него имеет место равенство

Доказательство. Сперва докажем, что Пусть — произвольная точка. Покажем, что Для этого удобно воспользоваться критерием Вейля [1], т. е. достаточно построить последовательность ортонормированных векторов , для которых

Так как – непрерывная функция в компактном множестве т. е. в квадрате , существует точка такая, что . Рассмотрим следующую окрестность точки :

,

где

— выколотая окрестность точки .Пусть µ() — мера Лебега множества .

Последовательность выбираем следующим образом:

Очевидно, что –ортонормированная последовательность.

Рассмотрим (H-) и оценим его норму:

Из построения множества следует , . В силу непрерывности функции имеем, что

.

Тем самым доказано, что , т. е. .

Из произвольности точки следует, что .

Включение. доказывается аналогично. А обратное утверждение, т. е. факт

доказывается с помощью уравнения Фаддеева для собственных вектор функций оператора H.

Литература:

1. Г. М. Жислин. Труды ММО, 9, 1960, 81–120.

2. S. Albeverio, S. N. Lakaev, Z. J. Muminov, Russ. J. Math.Phys., 14:4 (2007), 377–387.